Coiisidéix)iis la surface représcnlée par l'équatioiL
y (x, J, Z , fl) = o ,
<[ui renlemic avec les coordonnées x ^y^ z^ la constante arbitraire a. Si Ton fait varier cette constante, la surface dont il s'agit changera de position, souvent même de forn^e, et traversera un espace terminé par une seconde surface qui touchera sans cesse la surface mobile. Cette seconde surface est ce qu'on nomme la surface enveloppe, tandis que les diverses surfaces .représentées par Téqualion f{pc^ j^, z, a) = o et correspondantes aux diverses valeurs de la constante a, sont ce qu'on appelle les eni>eloppées»
Si dans l'équation f{x^y^ z ^ a) = o on attribue successivement à la constante arbitraire trois valeui^s diiférentes, mais très rapprochées , par cxemjde
a désignant une quantité infiniment j>etite , on obtiendra trois enveloppées très voisines, et celle du milieu coupera les deux autres suivant deux courbes comprises dans une même surface, dont l'équation sera produite par l'élimination de la constante a entre les deux formules
/{•ï^, /> *> '») = «> /(*> Xj «, « -h «) = o.
En efl'et, soit
X(^y,yy z, -*)=o
pourra être représentée par Téquation
Pour obtenir l'équation finie de la surface développable engendrée par cette tangente, il faudra éliminer c entre ces deux équations, mais cette élimination ne pourra être effectuée qu après la détermination des fonctions arbitraires 9 (c) , ;((c) , desquelles dépend la considération de la surface.
Soient maintenant^, ^, r, j, t les valeurs des dérivées • Il dz dz d*z d*z d^z g. . . «w
P*"'^"^' ;&' ^' ^' d^y^ ^' <Fe fournirait l équa-
tion de la surface développable diiférentiée deux fois par rapport aux variables indépendantes x, y\ la formule dz = pdx + qdy devra être vérifiée par les valeurs de dx^ dy^ dz^ tirées des équations de la tangente à la courbe donnée ; or comme ou tire de ces équations
dx dy ,
OU, puisque (p' (c), x(c) sont proportionnels à
dx dy dz
on trouvera définitivement
Cette dernière équation appartiendra donc aussi à la surface développable , si Ton y regarde c comme une cjuaiilité variable déterminée par Téquatiou
Or dans ce cas si Ton difl'érenlie Téqualion
I'* par rapport à .r, ti" par rapport à r^ les coollicienls dr
TREBITR-MEUVIÈME Le^OW^ 455
liée par les valeurs des coefficients différentiels
dz dz
D'ailleurs on tire de Téquation m = o, en supposant a constant^
du du
{iu du
dr "^ ^^
puis, en supposant a variable et fonction Aax^ ) ,
€lu du du du
dx '^ dz da tlv
du du du du
dy dz da djr
Les valeurs de p et de (j seront donc données pour un point situé sur la surface enveloppée par les premières valeurs defj et de ff , et pour un point situé sur la surface euveloppe, par les secondes, qui, en vertu de Téquation
-- = o, se réduisent aux deux précédentes. Donc, pour
tout point situé k la fois sur les deux surfaces , les quantités ff et ff obtiendront précisément les mêmes valeurs; d'où il résulte que ces surfaces se toucheront dans tous les points communs à Tune et à Tautre.
222. Revenons aux deux courbes d'intersection de l'enveloppée qui correspond à l'équation f(x , j^, z^ a) = o avec celles que représentent les équations
/(«îï^jrf 2>« — «) = » et f{xyjrfZya-hm)=o.
J^iorsqu'on passe aux limites en faisant évanouir a, ces deux courbes se confondent en une seule qui est la courbe de contact de Tenveloppée représentée par Téquation
tombé sur une équation du huitième degré qull aurait fallu décomposer en deux facteurs pour y reconnaitre les deux surfaces distinctes que nous venons de signaler. <
219. Cherchons encore Féquation de la surface gauche engendrée par une droite assujétie à glisser sur trois directrices quelconques. Les équations de la génératrice seront de la forme
jr = «a -+- y , jr = Cz -h i'j
et il faudra y joindre les conditions propres à exprimer que cette droite a toujours un point de commun avec chacune des directrices, ce qui fournira entre a, S, d, y trois relations de la forme
• S=<p{cc), y=z(^)f ^=>ÎW,
puis il resterait à éliminer a, ë^y^ i entre les cinq équations précédentes. Or si d'abord ou substitue pour 6, y, (?, leurs valeurs , il vient
et quant à cc^ on ne peut réllminer sans déterminer la forme des fonctions, c'esl-à-dirc sans particulariser les directrices , de sorte que pour conserver au résultat toute sa généralité, il faut garder le système des deux équations c|ui précèdent eu considérant a comme une indéterminée qu'on devra éliminer plus tard , quand la forme des fonctions aura été fixée. Si Ton voulait obtenir l'équation aux dérivées partielles indépendantes des directrices, il faudrait, en diflereutiant les deux équations
X = c<Z -h ;^5 («), J = Zip (fit) -f- ^ (*) ,
se procurer assez d'équations pour pouvoir éliminer la quantité a et les fonctions ç , ;(, i|/, ainsi que leurs dérivées. On y parviendrait ici en descendant seulonieni jus-l^ qii au troisième ordre. >
TREWTE-NEUVIÈME LEÇON. 4^7
Si maintenant on passe aux limites en faisant évanouira, les équations qui précèdent deviendront
du d*u
Ces dernières déterminent ce qu'on peut appeler le point commun à la caractéristique représentée par les équations
14 = o, — = o , et à une caractéristique infiniment voisine. U existe un point de cette espèce sur chaque enveloppée. La suite des points semblables correspondants aux diverses enveloppées, ou, ce qui revient au même, aux diverses valeurs de a, constitue sur la surface enveloppe, une certaine courbe à laquelle on a donné le nom d'arête de rebroussement. Pour obtenir les deux équations de cette courbe en x, j^, 5, il suffit évidemment d'éliminer la constante arbitraire a entre les trois
équations
du d^u
Donc les équations " = ^> ;^ = ^' V^ représentent
une caractéristique particulière, lorsqu'on y suppose la quantité a constante , représentent au contraire l'arèle de rebroussement, si Ton attribue à cette quantité ime valeur variable propre à vérifier l'équation -^ = o.
Comme dans les deux hypothèses les équations m = o , — = o fournissent les mêmes valeurs de da: , rf^, dz , ou
plutôt les mêmes valeurs des rapports —, —, nous devons conclure que tout point commun à l'arête de rebroussement et à une caractéristique , est pour ces deux courbes un point de contact. ^ ,
4So CALCUL DIFFÉRENTIEL;
a entre les deux équations
et qu'en conséquence la courbe représentée par la formule xip^^ ^9 ^) == ^ renfermera les points d'intersection de la courbe représentée par Téquation f{pc^ y^ a) =:o avec celles que représentent les formules
/(X, J, fl — rt) = O, f{Xy J, flU- tf) = G.
Les points d'intersection dont il s'agit étant évidemment très rapprochés l'un de l'autre lorsque a est très petit , si dans l'équation^ (x, y, a) = o on fait a = o , on obtiendra une nouvelle équation de la forme
qui représentera une courbe tangente à toutes celles qui répondent à la formule f{x^ ^, a) = o , et qu'on appelle la ligne d'enveloppe de toutes ces courbes. U reste à former l'équation ^{x^y) = o. Or si l'on désigne par e un nombre qui soit très petit avec a , on pourra évidemment donner aux équations fipc^y^ a) = o, f{x^y^ a 4-a) = o, la forme suivante :
du . \
tt = o, e -+-
On peut en conclure que , pour obtenir la formule
Xi^yfy tf) =0,
il suffira d'éliminer a entre les deux équations
du ,
da
Si dans ces dernières on fait a = o, et par suite e = o
elles deviendront
du «=o, -=0,
TRENTB-MEL'VICME LEÇO». 4^Q,
constantes a cl bj ce plan deviendra mobile; et la loi de son mouvement sera déterminée si Ton établit une relation entre les deux constantes , en supposant par exemple b = (f(à). Dans cette hypothèse , le plan mobile, dont Téquation prend la formey = «a: + ^ (a), touchera constamment une surface cylindrique qui pourra elle-même être représentée par l'équation^ = nx -|- 9(^^)5 pourvu que Ton attribue à la quantité a, non plus une valeur constante , mais une valeur variable propre à vérifier la dérivée de l'équation j^ = ax -+- (f(a) prise relativement à cette quantité, savoir, x + (f(n) = o.
Pour chaque valeur particulière de a, les équations yz=ax H- (f (à) et x -f- 9' (a) = o réunies, détermineront une caractéristique qui sera évidemment une droite parallèle à l'axe des z. Celte droite, comprise tout entière dans la surface cylindrique, se confondra évidemment avec la génératrice de cette surface.
Comme les diverses caractéristiques seront des droites parallèles, il n'y aura pas d'arête de rcbroussement.
