application : Surface développable

Considérons maintenant un plan quelconque représenté par l'équation z = ax '•\- by + a. Si l'on fait varier les constantes «, i, c, mais en établissant des relations entre ces constantes , par exemple , en supposant b = ^(a)j c = y^(a) , le plan deviendra mobile , et la loi de son mouvement sera complètement déterminée par la nature des deux fonctions (f et y^. La surface à laquelle le plan restera tangent dans toutes ses positions sera ce qu'on nomme une surface dév^eloppable. D'après son mode de formation , il est clair que le plan mobile , supposé flexible, et inextensible, pourra s'appliquer et se plier sur elle, sans duplicature ni solution de continuité, et réciproquement qu'on pourra, sans briser la surface, l'appliquer et la développer sur ce plan . La caractéristique de la sur-

on élimine la constante a, on obtiendra la formule

qui représente , comme on devait s'y attendre , la coufIm' proposée. Au contraire, si entre Téquation

f — a -h [ j — (p(fl)] (p ' (û) = o

et sa dérivée prise par rapport à a, savoir,

on élimine la constante a , on obtiendra Féquation non plus de la courbe proposée , mais de sa développée.

i**^ Exemple : Si par le point dont Tabscisse est a, on mène une tangente au cercle représenté par la formule

Féquation de cette tangente sera

Si Ton élimine a entre cette équation et sa dérivée par rapport à a, savoir,

on trouvera Téquation du cercle.

2°** Exemple. Trouver l'enveloppe des ellipses représentées par des équations de la forme

quand on suppose a -f- /> = K.

Solution. Si Ton différcntie l'équation par rapport à la quantité a^ eu regardant b comme fonction de a, on aura

—^da -hj-T- db = O.

TKEWTE-NELVÎÈME LEÇON. 43l

pah\e , et pour former Téquation de cette seconde surface il suffit d^éliminer a entre la formule

et sa dérivée relative k la quantité a, c'est-à-dire entre les formules

D^autre part il est clair qu'en opérant ainsi on obtiendra une seconde équation de Tarète de rebroussement. Donc cette arête est précisément la ligne d'intersection des deux surfaces développables.

A la formule z = ax +y<f(à) -hxW ^^ pourrait substituer Péquation générale du plan osculateur d^une courbe donnée, ou du plan normal à cette courbe. Soient

les deux équations de la courbe, et désignons par ^, v?, Ç les coordonnées variables du plan osculateur ou normal. L'équation du plan osculateur sera

) (dxd*z^dady) 4- (jj —f) (dzd^x — dxd*z) -h (Ç — «) {dxd*x — djd^x) =0,

ou plus simplement

({-x)(^'(x);t;''W-^"WA;'W]-('»-r)A;"W-H(Ç-*)^-'(x)=G,

tandis que l'équation du plan normal sera

(i-^x)da; -|-(» "^ y)dx -l-(Ç— %)dz = o, . ou , en d'autres termes ,

{ — X -^- [«f — <p(x)]^» H- [{— AsWl^s'W = G.

En conséquence, les plans osculateur et normal, menés par le point dont l'abscisse est a , auront pour équations respectives

46îl CALCUL DlFFÉRENTIÈLv

Cherchons maintenant la surface développable qui tovche constamment le plan osculateur. La caractéristique de cette surface sera représentée par Téquation

{(-a)[9'{a)x"{a)-p"(«)x'{'')]-b-f{'')]x'('')+[^-xi'']]P'(')=>

et par la dérivée de cette équation prise relativement à U quantité a, ou, ce qui revient au même, par les deux formules

{((-a)9'(a)-[,-ç(a}]}x!'(a)-{(i-a)x'ia}-[^-x(o)]]t'{di=

Or ces deux équations équivalent aux deux suivantes

ou, ce qui revient au même, à la seule formule

Donc la caractéristique de la surface développable se confond avec la tangente à la courbe donnée. Il est aisé d'en conclure que Taré te de rebroussemcnl de cette surface se confond avec la courbe elle-même. C'est aussi ce que démontre le calcul. En effet, les coordonnées d'un point quelconque de Tarète de rebroussement doivent safisfaire non-seulement aux équations

(f- «)^'{a)-[, ç(a)] = o, (f - fl)^'(«)-[4 - ;c(«)] = o;

mais encore aux dérivées de ces équations prises relativement à la quantité a. Or ces dérivées se réduisent l'une

TRfeHTE-NEUVlÈME LEÇOIT. 4^3

^X l'autre à

Si entre cette dernière formule et les équations

on élimine a , on obtiendra les deux suivantes

c'est-à-dire précisément les équations de la courbe don* née. Quant à l'équation même de la surface développable cpii toucbe constamment le plan osculateur, il est clair qu'elle résultera de l'élimination de la constante a entre les formules

(f — a)(p'(ii) — [x — (P{a)] = o, (f -«);,»-[$ ;,(«)] = o,

Passons à la recherche de la surface développable qui touche constamment le plan normal. La caractéristique de cette surface est représentée par l'équation

f — a 4- [x—<p{a)]ip'{a) -h [? — x{^)]x'ia) = o,

jointe à sa dérivée

Or, on satisfait à ces mêmes formules en prenant pour I, yj , f les coordonnées du centre du cercle osculateur de la courbe proposée. Donc ce centre se trouve situé sur la droite avec laquelle se confond la caractéristique de la sur^ face développable. J'ajoute que cette caractéristique et le rayon du cercle osculateur se coupent à angles droits. En effet, si par le point qui sur la courbe a pour abscisse la quantité /z, on mène une parallèle à la caractéristique de la surface développable , cette parallèle sera représentée

4^ CALCUL DIFPÉEBMTIBL.

fix^y-, z, a) = o avec la surface envelojpe. Cette courbe de contact est ce qu^on nomme la caractéristique. Pour former ses équations, il suffira de poser a = o dans les formules

on obtient alors, comme on Ta prouvé, les équations

uzrz O^ — - =: O.

Donc ces dernières, lorsqu'on y considère a comme constant, sont les équations mêmes ^e la caractéristique Sa Ton y donne successivement à la constante a diverses valeurs, on obtiendra diverses caractéristiques tracées, sur diverses enveloppées.

Les couril^s d^intersection dé Tenveloppée

avec les deux enveloppées que représentent les équations

se coupent , en général , en un point. Les coordonnées de ce point se trouvent déterminées par les trois équations

que Ton peut écrire comme il suit,

du it*/d*u, \

du a*fd*u . A

da 9. \da* J

a-f-«-T-H i-:rT-:x:s 1 = 0,

e, e' désignant, ainsi que a, des quantités infiniment petites. On peut encore, à ces équations, substituer les suivantes:

du dLfd*u, \ d^u . i±f'

/i=rO, -p--f-- -7— -±1 =0, TT — = o.

da i\da^ / da^ 2

Par conséquent si Ton élimine x^y^ z entre ces dernières et les formules j^=<p(x), ^=;^(jc), on obtiendra en |, tï, Ç, Téquation de la surface sur laquelle se trouvent situées toutes les développées de la courbe représentée par ces mêmes formules.

Or Télimination dont il s'agit donne évidemment le même résultat que celle de la quantité a entre les formules

Donc la surface développable qui touche constamment le plan normal à une courbe quelconque, est en même temps le lieu de toutes ses développées. On arrive encore aux mêmes conclusions par les considérations suivantes.

Si l'on fait rouler sur une surface développable le plan tangent à cette surface, avec plusieurs droites menées par un point pris à volonté dans ce plan, pendant que le point décrira une courbe dans l'espace , cbaque droite tracera évidemment sur la suiface une développée de cette courbe. Donc la surface sera le lieu de toutes les développées, et le plan tangent, passant par les tangentes aux développées, ou, en d'autres termes , par plusieurs droites normales à la courbe décrite, se confondra nécessairement avec le plan normal à cette courbe.

225. 4"** Application : Surface qui enveloppe l'espace parcouru par une sphère dont le rayon demeure constant et dont le centre se meut sur une ligne donnée.

Supposons d'abord que le centre de la sphère se meuve sur l'axe des x ; si l'on désigne par a l'abscisse de ce centre , l'équation de la sphère mobile sera de la forme

et si à cette équation on joint sa dérivée prise relative- T. I. 3o

223. 1*^' Application : Surface cylindrique droite « base circulaire.

Considérons le cercle représenté par la formule