X» H- 7» = PS
et tracé dans le plan ocy. Si par le point dont Tabscisse est a , on mène une tangente à ce cercle, et par cette tangente un plan perpendiculaire au plan 3cy^ ce plan aura pour équation Téquation même de la tangente, savoir,
Si Ton fait varier la valeur de a , le plan se mouvra de manière à toucher constamment la surface cylindrique droite qui a pour base le cercle donné. Donc , en vertu des principes ci-dessus établis , l'équation de cette surface cylindrique devra résulter de Télimination de la constante a entre la formiJe ax-^yV^ p^ — a^=zp*^ et sa dérivée prise par rapport à la quantité a. Cette dérivée
étant X = n l'élimination donne pour ré-
sultat X* +JK' = p^t conmie on devait s'y attendre. Dans le cas présent , la caractéristique représentée par
les équations ax +y \/^p' — a' = p*, x =0,
sera la droite verticale qui résulte de Tinlersection de deux plans inCnimcnt voisins menés par deux tangentes
perpendiculairement au plan xy .
Comme les droites caractéristiques seront des droites parallèles, il n'y aura pas d'arête de rebroussement.
^me application : Surface cylindrique à base quelconque.
Considérons un j)lan parallèle à Taxe des z et représenté par Téqualion j = ax -f- ^« Si Ton fait \arier k>
TRENTE-KEt VIÈME LEÇON. 4^7
on aura en tout trois équations qui détermineix>fit les coordonnées d'un point situé sur Tarète de rebroussemcnt de la surface canal. L'équation de cette surface résultera de Félimination de a entre les formules
Quant aux équations de Tarète de rebroussemcnt, il suffira pour les obtenir de joindre à Téquation de la surface canal celle que Ton obtient en éliminant a, entre les deux équations
Cette élimination conduira à l'équation d'une surface cylindrique verticale , dont l'intersection avec la surface canal sera précisément l'arête dont il s'agit.
Supposons, en troisième lieu, que le centre de la sphère se meuve sur une courbe à double courbure représentée par les deux équations
la spbère mobile , représentée par la formule
(x — a)* -4- [jr^<p(a)y 4- [z — x{^)]' = f^
parcourra un espace dont l'enveloppe sera encore une surface canal. De plus , conune la dérivée de cette dernière équation relative à la quantité a, savoir,
est l'équation même du plan normal à la courbe décrite par le centre de la sphère mobile , il est clair que la caractéristique de la surface canal sera précisément le cercle qui résulte de l'intersection de ce plan normal avec la sphère. Si entre les formules
X — n -h [r — (P(«)]^'(a) -+- V—xW\x\à) = o,
46o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
face , qu'on peut aussi nommer sa génératrice , ne sera autre chose que la droite d^intersection de deiâc plans infiniment voisins. Les équations de cette droite seront Té* quation même Ju plan mobile , savoir ,
et sa dérivée , prise relativement à la constante a , savoir ,
L'élimination de la constante a entre ces deux équations donnera pour résultat Véquation même de la surface développable.
Si Ton difTérentie de nouveau Téquatioii
par rapport à la quantité a , on trouvera Les trois équations
déterminent, pour chaque valeur particulière de a, un point situé sur Tarète de rebroussement de la surface développable. Si entre les mêmes formules on élimine «, on obtiendra précisément les deux équations de celte arête de rebroussemeut. Ajoutons que si Ton effectue d'abord l'élimination entre les formules z = ax-{'j(f(aj -+- xW> o=zx +y fX^^) -\- X (^0' ^^ trouvera pour première équation celle de la surface développable, qui passe eflectivement par l'arête dont il s'agit.
On peut remarquei' encore que, pour chaque valemparticulière de «, Tcqualion o = x + J"9>'(«) -f- X (^)
représente un plan perpendiculaire au plan x^jr et passant par une caractéristique, l'ous les plans de celli^ espèce louelicnl évidemment une ccriaiue surface dévelop-
QLARAftTIKME LËVO^ . ^6^
Kquutionb aux ilcrivéos partielles tl«îs surfaces enveloppées cl iJe»
RurfacpR enveloppes.
226. Coiisicléi*oiis la surface represeiitéc par l'cqualipii w = o , el supposons d'abord que la fonclioii u reiifenne, avec les cooitloiinées x,j^, 5, les deux paraïuè^ 1res a eti = y(«); eu sorte qu'on ait, par exemple,
Si Ton fait varier la constante a^ la surface dont il s'agit deviendra mobile, et parcourra un espace dont Tenvcloppe sera une nouvelle surface représentée parréquation qui résulte de réliminatiou de u entre les deux sulvacntes
an
Cela posé, on reconnaît facilement que les é(|uations
du du du du
appartiennent à Tune des surfaces enveloppées, lorsqu'on attribue à la quantité a ime valeur constante, et à la surface enveloppe , lorsqu'on attribue à la quantité a une
valeui^ variable propre à vérifier la formule — = o.
4jO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Donc , si entre ces trois équations
du du du du
on élimine a et ^(a), on obtiendra une équation aux dérivées partielles en Xjj-yZ^p^q, qui appartiendra en même temps à la surface enveloppe et à chacune des surfaces enveloppées.
Exemple : Supposons que la surface représentée par Féquation u = o soit une sphère dont le rayon p demeure constant et dont le centre se meuve sur une courbe
comprise dans le plan xy. L'équation u = o sera de la forme
(x — ay -h [r — ^W? H- «* = p^'
Dans la même hypothèse, les deux dernières équations du du du du
se réduiront à
Cela posé , l'élimination de a et de (p (a) entre les formules
(x ay H- [r — (p{a)Y -h «> = p», X — a-\-pz = o, X — ^(ûf) -h ^2 = o,
produira l'équation aux dérivées partielles
qui appartiendra non-seulement à la sphère mobile , mais encore à la surface canal circonscrite à toutes les sphères. Supposons maintenant que l'équation u = o renferme avec les coordonnées x^ y^ z, les trois paramètres a, bz=(f(a) et c =;((«), en sorte qu'on ait, par exemple,
QUARANTIÈME LE^OiV. 47^
Si 1*011 fait varier la constante a , la surface représentét; par l'équation w = o deviendra mobile , et pour cette surface mobile, ainsi que pour la surface enveloppe de l'espace qu'elle traverse, les valeurs de x, 7, 5, /^ q satisferont à la fois aux trois équations
du du du du
Supposons, que ces mème3 équations étant résolues par rapport aux paramètres a , (p(a) et -^{a) , on en tii'e
U , V, W étant fonctions des seiJes variables x^j^z^ //, q , et par suite
On pourra donc obtenir, dans le cas que Ton considère, trois équations aux dérivées partielles du premier ordre, dont cbacune appartiendra également à la surface mobile et à l'enveloppe de l'esjxice qu'elle parcourt. Pour former ces mêmes équations, il suffira d'établir une liaison arbitraire entre deux quelconques des trois quantités variables U, V, W. Par conséquent, chacune des équations dont il s'agit renfermera une fonction arbitraire. Telles sont eflecti vement les fonctions 9 9 x^ ^ dans les formules précédentes : V = ^(U), W = x(U), W= ^( V). Au reste , comme la fonction arbitraire ^ («) peut être censée déduite d'une écpiation de la forme
la caractéristique car indiquant eHe-mème une fonction arbitraire, il est clair que pour la surface en\eloppe et pour chacune des enveloppées, les valeurs de a%j^, 2, />, q satisferont encore à Téqualion aux dérivées partielles
»(ÎJ, V,W) = o.
464 CALCUL DIFFÉBENTIEL.
par les deux équations
ou, ce qui revient au même , par la formule
ç/iaU'W - ^^a)x'ia) ^ ^ ^î" W ~ P" W '
Donc cette parallèle sera perpendiculaire au plan osculateur, et par suite au rayon du cercle osculateur, autrement nommé rayon de courbure, ce qui entraine la proposition énoncée.
Si entre les équations e a -f- [, - «(a)]^(«) + [C - »ia)]x'(a) = o.
on élimine la quantité a, on obtiendra précisément Té- .quation de la surface développable qui touche constamment le plan normal. Cette équation appartiendra en même temps à Tarète de rebroussement de la surface , et pour obtenir une seconde équation de cette arête , il suffira d'éliminer de nouveau la quantité a entre Téquation
• -t-[^'(«)? -•-[«'(«)? = [r - P{a)]9"{a) + [C-A;{«)k'W et sa dérivée prise relativement à cette quantité, savoir :
Nous avons vu que si x, j^, z représentent les coordonnées d'un point quelconque de la développante, et |, >î,Ç les coordonnées d'un point quelconque de la développée, on a
(f ~ x) ^ -4- (»— r)<r -4- (Ç-— z)dz = Oy
Par conséquent si Ton élimine x^y^ z entre ces dernières et les formules j^=<p(x), ;;=;^(jc), on obtiendra en |, tï, Ç, Téquation de la surface sur laquelle se trouvent situées toutes les développées de la courbe représentée par ces mêmes formules.
Or Télimination dont il s'agit donne évidemment le même résultat que celle de la quantité a entre les formules
Donc la surface développable qui touche constamment le plan normal à une courbe quelconque, est en même temps le lieu de toutes ses développées. On arrive encore aux mêmes conclusions par les considérations suivantes.
iSî l'on fait rouler sur une surface développable le plan tangent à cette surface , avec plusieurs droites menées par un point pris à volonté dans ce plan, pendant que le point décrira une coui'be dans l'espace, chaque droite tracera évidemment sur la surface une développée de cette courbe. Donc la surface sera le lieu de toutes les développées, et le plan tangent, passant par les tangentes aux développées, ou, en d'autres termes , par plusieurs droites normales à la courbe décrite, se confondra nécessairement avec le plan normal à cette courbe.
225. 4*"* Application : Surface qui enveloppe l'espace parcouru par une sphère dont le rayon demeure constant et dont le centre se meut sur une ligne donnée.
Supposons d'abord que le centre de la sphère se meuve sur l'axe des or-, si l'on désigne par a l'abscisse de ce centre , l'équation de la sphère mobile sera de la forme
et si à cette équation on joint sa dérivée prise relative- T. I. 3o
4o(> CALCUL DIFFÉRENTIEL.
ment à la quantité a , savoir,
on obtiendra les deux équations de la caractéristique de la surface enveloppe. L'élimination de a donne , pour l'équation de cette même surface,
donc la surface enveloppe sera , comme on devait s'y allendre, un cylindre droit qui aura pour axe Taxe des j:, et pour base un cercle décrit d'un rayon p égal à celui de la sphère.
Les différentes caractéristiques étant des cercles parallèles, compris dans des plans perpendiculaires à l'axe des j', il n'y aura pas d'arête de rcbroussement.
Supposons, en second lieu, que le centre de la sphère
se meuve sur une courbe plane tracée dans le plan 3^\ Si l'on désigne par
l'équation de cette courbe , celle de la sphère mobile sera de la forme
si à cette équation Ton joint sa dérivée par rapport à a.
savoir :
X — ûr -4- [7 — (p{à)] p\a) = o ,
on obtiendra les deux équations qui représentent la caractéristique de la surface qui touche constamment Ja sphère mobile , et que l'on nomme surface canaL Enfin, si aux équations
on réunit la dérivée de la dernière par rapport à a, savoir,
TRENTE-NELVIÈME LEÇON. ^Gj
on aura en tout trois équations qui détermineront les coordonnées d'un point situé sur Tarète de rebroussement de la surface canal. L'équation de cette vsurface résultera de Télimination de a entre les formules
Quant aux équations de Farète de rebroussement, il suffira pour les obtenir de joindre à l'équation de la surface canal celle que l'on obtient en éliminant a, entre les deux équations
Cette élimination conduira à l'équation d'une surface cylindrique verticale , dont l'intersection avec la surface canal sera précisément l'arête dont il s'agit.
Supposons, en troisième lieu, que le centre de la spbère se meuve sur une courbe à double courbure représentée par les deux équations
la sphère mobile , représentée par la formule
parcourra un espace dont l'enveloppe sera encore une surface canal. De plus , comme la dérivée de cette dernière équation relative à la quantité a, savoir,
es^ l'équation même du plan normal à la courbe décrite par le centre de la sphère mobile, il est clair que la caractéristique de la surface canal sera précisément le cercle qui résidte de l'intersection de ce plan normal avec la sphère. Si entre les formules
x — it -h [r — (p(a)]^'(fl) -h \z—'^{a)\^\a) = o,
468 CALCUL TlIFFf^RFKTlEL.
on élîtnme a^ on obtiendra l'équation de la surface eanal. Si Ton élimine la même quantité a entre Féquation
et sa dérivée relative â a, savoir,
on obtiendra Féquation de la surface développable , que touche constamment le plan normal à la courbe des centimes. Enfin , toutes les fois que la surface canal sera rencontrée par la surface développable , la courbe d'intersection de ces deux surfaces sera Taré te de rcbroussement de la première.
QIiAKANTIÈME LEÇON. 477
Il en résulte que les valeurs de T,jr, z, p, g, relatives, soit à la sphère mobile, soit à la surface canal qui enveloppe l'espace traversé par cette sphère, vérifieront les équations aux dérivées partielles
rq=^ = »('=F
R désignant, pour abréger, le radical V^p* -+- ^ -+- i . Quant k Téquation
d^ud^u ^d*ud*u ^d*u d*u
elle prendra , dans le cas présent, une forme très simple. En effet , en vertu des équations
S^""^' dp-^' d^
elle se réduit k
Si l'on remet au lieu de z — i{à) sa valeur tirée de la for-
mule
et quel'on fasse, pour pi us de commodité, R= k ^'+^'+1 ,
on aura définitivement
ou , ce qui revient au même ,
On obtiendrait précisément la même formule en substituant dans Téquation qui donne les rayons de courbure principaux
(p*-hq^-hî)Q,*±[(p^'hi)t—7pqS'\-(q*-hl)r]Q-hrt-'S*=0j
au lieu de la quantité Q > sa valeur dz — tirée de Féqua-
tion qr - = ^. Or, dans Téquation qui donne les rayons
de courbure principaux, p désigne un rayon de plus grande ou de moindre courbure , tandis que dans Téquation aux dérivées partielles qui précède, p daigne le rayon de la sphère mobile; donc il résulte de cette formule, qu'en chaque point de la surface qui enveloppe l'espace parcouru par la sphère mobile , Tun des rayons de plus grande ou de moindre courbure est égal au rayon de la sphère dont il s'agît.
227. On peut déterminer les fonctions arbitraires que renferme Téquation d^une enveloppée, de manière que la surface enveloppe passe par des directrices données , ou soit circonscrite à des surfaces données.
Soit toujours u = o l'équation de l'enveloppée mobile, et supposons d'abord que la fonction u renferme avec les coordonnées x,y, z les deux paramètres a etç(a). Pour déterminer la fonction <p, il suffira de supposer que l'euveloppe doit passer par une directrice donnée ou être cir-
QliARANTlÈME LEÇON. 479
consente à une surface donnée. Soient, dans la première hypothèse, i^ = o, iv = o, les équations de la directrice. Cette directrice devabt être tangente à chacune des enveloppées^ les valeurs de dx^ dy^ dz^ tirées de ses équations, devront satisfaire à la difl(érentieUe de Féquation u = o, et par suite on aura, pour chaque point de la directrice, non-seulement les équations u = o, i^ = o, iv = o, mais encore la formule
Hw du dv dw du dv dtv du dv dtv du dv dtv du dç dw
dz dx dz dy dy dzdx dy dx dz dz dxdy dz dy dx
Si entre ces quatre équations on élimine x, ^, z, on obtiendra une équation de condition entre a et 9(^)9 que je représenterai par A = o , et qui déterminera la forme de la fonction ^. Si, à Taide de cette équation de condition, on élimine de la fonction tt=o le paramètre f (a), Téquation résultante représentera une surface déterminée pour chaque valeur particulière de la quantité a, et en faisant varier cette quantité, on aura une surface enveloppe également déterminée.
Supposons maintenant que l'enveloppe doive être cîr- <x)nscrite à une surface donnée représentée par Téquation i^ = o. Cette dernière surface sera tangente à chacune des enveloppées, et, comme deux surfaces qui se touchent en un point ont nécessairement en ce point la même normale, il est clair que les coordonnées x^ y^ z, du point de contact, vérifieront non-seulement les équations m=o, I' = o , mais encore la formule
du du du
dx dy dz
dv dç dp '
dx dy dz
Si entre ces quatre dernières équations on élimine x,^, z.
Cette dernière équation comprend les formifles.
comme cas particuliers.
Si Ton diiTërentie Tune de ces équations
i^ par rapporta x, a** par rapport à j', on obtiendra deux équations qui renfermeront les dérivées des fcmctîons (p , jj , ^ ou tr , et desquelles on pourra déduire , par l'élimination de ces dérivées, une équation aux dérivées partielles du second ordre. Ainsi, par exemple, en différentiaîit Téquation V = ç(U), i*' par rapport à a:, 2® par rapporta y^ on trouvera
dV dV dV dV fdV dJ} dH d\5 \ ,^,.
et Ton aura par suite, ^n éliminant (f(li)y
/dV dW d\ dW Y^U dV dV dV \ \dx dz dp dq )\dy dz dp dq )
fdV d\ dV d\\fdl] dV dV dV \
ou , ce qui revient au même ,
V dW \fdV dV \ rdV dw' \fdV dV \
rdy/'dv dv \ dVfdv d\ \-i rdv/dv d\ \ dw/d\}
ii^\-d^-^^zV'-d^\'d^-^-Tz'^)Y^^
'd^yd^'^lh^J dq\dr'^'d^^)'^'d^\'di'^ dz^J d^\d^'^
fd\ dV d\ d\]
\dp dq dq dp
OIAHANTIKME LEÇOA. 4^1
X, /x, V, 011 aura simultanément
(xr — Jr,)cosA-^(J, — jt)cos/*-f- («, --2,)cos» = o, cosAdlr, -f- cosfcdjr^ -\- cx>Sf dz^ = o, cosxdxj -+• cos ftdy\ -h cosfdz^ = o.
On en conclura
(x, —JT,) (<//,</«. — «(ra^«i)-+- {Xi--X2){dz^dx, — dz^fix,)
(z, — z,) (dx^df^^dx^dxx) = o.
Cette dernière équation, lorsqu'on y substitue pour r/jc, , rf^,, /'/z,, rfxj, ^2, rfz, , leurs valeurs tirées des formules i/jt=:o,w,= o,i', = o, W2 = o, établitune relation nouvelle entre les six coordonnées j:,, y,, Zi,Xt,^,, Zf. Si aux formules précédentes on réunit les équations de la génératrice de la surface développable, lesquelles se trouvent comprises dans la formule
x—~Xi y — y i z — Zx
X\ — *i yx — yx *i — *i
on aura en tout sept équations entre les quantités
•*>^>*» -^ij^iy^o *^a>^'a>*»?
et si l'on élimine les six dernières, on obtiendra eu X^y^ z l'équation même de la surface développable.
229. De la surface développable circonscrite à deux surfaces données.
Désignonspar x», y,, z,: .r„ j',, Zj, les coordonnées variables de deux surfaces données; et soient p», =o, 1^2 = 0 leurs équations respectives. Si les points (x, , y^ , z^ , (j:, , y, , Zf) , se trouvent sur une même génératrice de la surface développable , les normales menées aux surfaces données par ces deux points seront perpendiculaires au plan qui toucbe la surface développable suivant la gé- T. I. . 3i
/\kJ'2 t.kl.CAiï. DIFFF.nRNTIKI..
iiératrice dont il s'aj^it; ol l'on exprimera que ces normales sont non-s(^iilenient parallèh^ entre elles, maist*»eoi*e perpendiculaires à la géuéralrice , en )H>sant lesirois t'^cpiations comprises dans les formules
dv, dvj^ dv^ fix^ __ dy^ __ dz, dvj dvt dç^ ' dx^ djr^ dz^
8i entre les formules qui précèdent et les équations de U
jçénértitrice . savoir ,
jpj ^1 y-i y\ *ï*^*i
on élimine les six quantités j:,, y\^z^^ x,, >!•-*. on obtiendra en x, y, z Téquation mi>me de la surface déT(^ loppable.
Si l'on se proposait seulement de trouver la courbe dr contact de la surface développable avec Tune des deux surfaces données, par exemple avec la preniîère, il suffirait de joindre à Téquation ^'. = o celle qui ix^sultc dt* l'élimination des coordonnées or,, y,, Z; entre lequation i', = o et les formules
dx^ — ^» ^^^ dv^ dv^ //p, ' tix^ dy^ dz^
Exemple : Surface développable circonscrite à deui
Ql AUANTIÈME LEÇON. 4^3
sphères ou à deux ellipsoïdes semblables, dont les axes sont parallèles.
Calcul pour deux sphères. Soient
les équations des deux sphères.
On aura
= ---- = -y Xi-r, -h J,J, -h2,2, = f:\
On en conclura
et par suite
La dernière équation est celle d'un plan qui renferme la courbe de contact de la surface développable avec la première des sphères données.
4y6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si rou suppose en outre que Féquatiou m :^ o soit linéaire par rapport à x , y , z , on aura encore
dbT*^^' dP^"^' ^""^'
ce qui réduit Téquation précédente k rt — s* = o.
2™* Exemple : Supposons que Téquation u = o soit celle d'une sphère décrite d^un rayon constant p , et se réduise à
(x — fl) * -+- [7 — p{a)y -h [z — AîWf = P' i les deux formules
du du du du
deviendront
En combinant celle-ci avec Téquation de la sphère , ou trouvera
et par suite
« =*-l-P ry — " >
On aura donc , dans le cas présent ,
Q l' A RA>TK- UNIEME LEÇOW. 4^5
toujours ordouiié suivant les puissances ascendantes de c, mais qui renferme des puissances négatives. Ce développement s'obtient très facilement en procédant comme il suit.
2. La valeur particulière Xi peut être une racine simple ou multiple de l'équation t^-t = o; Xi sera une racine simple, etTéquation 7r-r= osera dite n'avoir qu'une
seule racine égale à Xi , lorsque le produit (x — Xi) j\x) ne deviendra pas infini pour x^=.Xx* On dit, au con»traire, que x^ est une racine multiple de l'ordre m, m
désignant un nombre entier, ou que l'équation -^r—r = o
a //i racines égales à Xi, lorsque le produit (a: — x^"" J\x) obtient pour x =. x^ une valeur finie différente de zéro. Posons, dans cette dernière hypothèse, qui renferme la première comme cas particulier,
(x — x,Yf{x) = r{x) , i'»/(x, -M) = f (x. 4- «) ;
la fonction ((x) conservant une valeur finie pour x = Xj, ou pourra développer {(x^ + e) suivant les puissances ascendantes et positives de e , et Ton aura
d'où l'on tire, en divisant par e'", et ayant égard à l'équanon /(x, -t- e) = -^--— ^
f i.7..3...(/w — i) 1.2. 3. ..m' Si m est égal à l'unité , ou si x est une racine simple de
4yS CALCUL DIFFÉRENTIEL é
on aura définitivement
ou , ce qui revient au même ,
Tia II
On obtiendrait précisément la même formule en substituant dans Téquation qui donne les rayons de courbure principaux
(/?*--h^»-f-i)Q»±[{/?"H-i)f— ?/?y5 + (^»4-i)/iQH-/t— ^=0,
au lieu de la quantité Q > sa valeur dz — tirée de l^équa*
lion zp - = ^. Or, dans Téquation qui donne les rayons
de courbure principaux, p désigne un rayon de plus grande ou de moindre courbure, tandis que dans Téquation aux dérivées partielles qui précède, p désigne le rayon de la sphère mobile; donc il résulte de cette formule, qu'en chaque point de la surface qui enveloppe l'espace parcouru par la sphère mobile , Tun des rayons de plus grande ou de moindre courbure est égal au rayon de la sphère dont il s'agit.
227. On peut déterminer les fonctions arbitraires que renferme l'équation d'une enveloppée, de manière que la surface enveloppe passe par des directrices données, ou soit circonscrite à des surfaces données.
Soit toujours H = o Téqualion de l'enveloppée mobile, et supposons d'abord que la fonction u renferme avec les coordonnées x^j^z les deux paramètres a et(f(a). Pour déterminer la fonction (f , il suffira de supposer que l'enveloppe doit passer par une directrice donnée ou être cir-
QUARAI^TE-rMKME MJ^OM . 487
«{. Exemple : 1" Soit
celle fonction devient infinie pour x = i , mais le produit
conserve une valeur finie. Le résidu de la fonction f{pc)^
correspondant à j: = i, sera dès-lots f(i) ou — -r- — = i.
Le résidu de celte même fonction, correspondant à X = — I , s'obtiendra en formant le produit
(xH-.)/(x) = J^.
et faisant x = — i ,
ce (jai donnera * — '— = — i .
'i^"" Exemple : f{x) =
cosx
(]ette fonction devient infinie pour x = -\ mais le pro-
ir
duit , qui prend la forme indéterminée 7, conserve
QO%X
néanmoins pour x = - une valeur finie que Ton obtient
cosj:
en prenant la dérivée du numérateur et du dénominateur. Cette valeur finie et égale à Tunité est le résidu de la
fonction corresiHindant à x = - .
cosx * •?
3"*" Exemple :
on a
et — 2 est le résidu de cette fonction relatif k x = — i. 4. Lorsqu'une fonction f(x) devient infinie pour une série de valeurs particulières oTi , Xj, Xj, ... x„, on peut prendre le résidu, ou successivement par rapport à tour tes les racines , ou partiellement par rapport à quelques* unes seulement. On appelle résidu intégi*al de la fonction f(x) la somme des résidus de cette fonction relatifs aux diverses racines réelles et imaginaires de réquation
r^^ =0. L'extraction des résidusest l'opération par laquelle
on les déduit de la fonction proposée. On indique cette extraction à Taide de la lettre initiale o, qui sera considérée comme une nouvelle caractéristique analogue aux caractéristiques d, y, 2 5 et pour exprimer le résidu intégral de f(x) , on place la lettre o devant la fonction entourée de doubles parenthèses, ainsi qu'il suit :
Pour indiquer le résidu, par rapport à une valeur particulière jc = Xi , on remplacera la fonction f(x) par la fonction identique
X — X,) (x — ar,)*
et Ton mettra entre deux parenthèses^ sous le signe c^, la
différence (x — x^) ou (x — Xi)"" placée au dénominateur ; le résidu sera donc indiqué par Tune des notations
^ {(x-xo) ' ^ {{{^-x:r))'
QLAHANTE-UIVIÈME LEÇOM. 4^9
Pour indiquer le résidu pris par rapport à certaines valeurs particulières Xi^ a:t, x^^. . . , on se servirait de la notation
Lorsque la fonction f(x) se présentera sous la forme fractionnaire f(x) = -\-tj et que nous voudrons indiquer la somme des résidus relatifs aux racines de Téquation xO*^) = o» nous écrirons
appliquant ainsi les doubles parenthèses à la fonction x(^)* Au contraire, la notation
représentera la somme des résidus de f(x) relatifs aux
seules racines de Téquation — 7-r- =0, et Ton aura identiquement
De même, si l'on suppose x(^) = ^(^)f(^) ? ^^ deux notations
exprimeront, la première la somme des résidus correspondants aux racines de Téquation X(a:)=o, et la seconde la somme des résidus qui correspondent aux racines de
/iS'2 <:AI.CC;L DlFF^.RENTIKI..
iiératricr doiii il h'a^ii ; cl l'on exprimera que ces normales sont non-seulement parallèles entre elles, mais mcore perpendiculaires à la génératrice , en posant les trois équations comprises dans les formules
dv, dv^ dVf dx^ ___ dfx __ dzt dv^ dvt dp^ ' r/x, djr^ dz^
Si entre les formules qui précèdent et les équations de la génértitrice , savoir ,
on élimine les six quantités j:,,j^, ,z, , x,,^, ,^5.on obtiendra en JC, y^ z Téquation même de la surface développable.
Si Ton se proposait seulement de trouver la courbe do contact de la surface développable avec Tune des deux surfaces données, par exemple avec la première, il suffirait de joindre à Téquation p», = o celle qui rt^sulle de Télimination des coordonnées x, , -y,, z^ entre Téqualion 1^5 =r o et les formules
r/t», d%'i di>t
dxi dYi dzt
dv^ dv^ dv^ '
dx^ dy^ dz^
Exemple : Surface développable circonscrite à deux
QUAliA»TE-l MÊME LEÇOI^ . 49^
r = o , résolue par rapport à x , fournisse des racines
Cy Z)
dépendantes de la variable z ] si Ton désigne par Xi me de ces racines , il est clair que le résidu de la fonc-
m dérivée* , ^ \ correspondant à ar = a?! , ne dîfte-
QJC
ra pas de la dérivée relative à z du résidu de la fonction (x^ z)'^ car ces deux quantités se réduiront Tune et
lutre au coefficient du rapport — dans le développement
î l'expression f{x^-\- e , z 4- 2), suivant les puissances cendan tes des accroissements e, e'.
En effet, pour avoir le résidu de la fonction f{oc^ z)^ rrespondant k x = x^^W faut poser j?= jr, 4-e et prene dans le développement A^e f(xx +6, z)^ le coeffi-
entde -; puis,, pour avoir la différentielle de ce résidu,
faut , dans ce coefficient de - , changer z en z + €',dé- Jopper et prendre le coefficient de e' qui sera évidement le coefficient de — dans le développement de
De même, pour avoir le résidu de la différentielle, il ut d'abord dans f(x^ z) changer 2 en -z + e', prendre coefficient de e', y changer x en x, + e, et dévelop-
•r ; le coefficient de - sera le résidu cherché et sera aussi
coefficient de - danslc développementdey(j:,4-Ci -z+O^
»nc, etc.
Celte remarque pouvani s'étendre aux diverses racines
; Téquatlon j-. . = o que Ton suppose indépendantes
49^ CALCUL DIFFÉaBMTIEL.
de la variable z , on en conclura
c'est-à-dire que le résidu intégral de la différentielle est égal à la différentielle du résidu intégral. . Nous conclurons plus tard de ce théorème que Tintégrale du- résidu est égale au résidu de Pintégrale.
8. Ce que nous venons de dire sur les principes du calcul des résidus suffit. Il reste à faire connaître une de ses principales applications.
Application à la transformation d'une fonction qui devient infinie pour certaines valeurs , et à la décomposa tion des fractions rationnelles en fractions simples.
En supposant que la fonction f{x) devienne infinie pour X = j:, , mais de telle sorte que le produit (x — ^xY/ipi^) = f(jc) conserve une valeur finie, nous avons trouvé
H L Çg— ^«) ^ 1 fC«)rx.-+-0(x-*.^].
Posons
f(x) aura généralement pour x=jr:, une valeur finie
~-^ — , et par conséquent, en retranchant de la fonc-
tion fipc) la somme
(ar-x,)" I (x-a:,)"^' i .2 (x-jp,)"-» '" i.2.3...(m-i) (or— Ji)
QUAKANTE-IJNIÈMK LEÇON. 49^
on obtiendra une nouvelle fonction 9(x), ({ui ne deviendra plus inûnie pour x = x. ^ or cette somme de fractions peut, à Taide du calcul des résidus ^ se mettre sous une forme très simple.
En effet , on a évidemment , d'après ce que nous avons dit sur les résidus et la manière de les calculer,
'^ ''~^{x—x,y i.2.3...(iit— i)~*^(((x — X.)-))' d'oi'i l'on tire , en posant m — i = m , x= z,
, .-i.-i. ..n~^({{z—x,Y+'))' Si , dans cette dernière équation , on fait tour à tour
on trouvera
f(.,.)=£ fw ^. ^ = 1
TT - *^(az-x,y)y ■ ■ i.i.3...(m^i)-^({iz-x.)r))'
Dès lors Féquation
devient
fi^. J f f(») ■ £ f(») )
En faisant entrer sous le signe o, qui se rapporte à z, les quantités j^ir^-' (ir'—^y^' ' " " '^^^ P®"^ "^^ar-
490 CALCIL DIFFÉREKTIEL.
Téquation fx(x) ^ o; en sorte qu'on aura généralemrat
De même encore , si Toiî suppose (f (x) = y (x) u (x) , on obtiendra les équations
£((v(x)^(x)))^ r ((y(x)))^(x) ^ rrW((^(x))) ;kW a;W >;W '
"^ vU wy; ^ ((A(x) ))^{x)^ ^ A(x)((^(x)))
5. Si la fonction f(x) est la somme ou la différence de plusieurs fonctions (f(x)^ ;((a;), il est évident, d'après la définition même du résidu et du résidu intégral, que le résidu intégral de la somme de ces fonctions sera égal à la somme de leurs résidus intégraux ; on aura donc
l, mx)±x{x)±etc.)) = £((?.(x)))± £^{x{x)))±. . . etc.
6. Si la fonction f(x) est le produit d'une autre fonction F(j?) par un facteur constant a, on aura aussi
li(a¥ix))) = al{i¥{x)J).
Celte dernière équation est un cas particulier de celle tjui* nous avons établie plus haut,
équation qui correspond à Técpalion dittérentielle
7. Soit, de plus, ./"(x', z) une» fonction des doux \ariables indépeiidanl(»s x> r.<*t supposons que 1 équation
QUAHAMTK-LNIÈME LEÇON. 49^
9. Concevons maintenant que Ton veuille déduire de la fonction f{x) une autre fonction qui ne devienne infinie pour aucune des racines Xi , Xi, ...a:„ de Téquation
f(.r^ = 00 , -77—, = o, il suffira évidemment de retrancher
de fipc) la somme des résidus de la fonction ■ ^ cor-
respondant aux valeurs z=x, , z = j:j,.-- q^ peuvent rendre cette fonction infinie, ou le résidu intégral de
cette fonction représenté par la notation <î^ ^ 5 donc
si Ton pose
la fonction (f (x) conservera une valeur finie pour toutes les valeurs finies réelles ou imaginaires de la variable x» On pourra donc toujours décomposer une fonction donnée en deux parties, dont Tune soit la sonune de fractions rationnelles^ et dont Tautre ne devienne jamais infinie.
10. Dans le cas particulier où f(x) désigne une fraction rationnelle, la fonction ç(j?), qui est ce qu'on obtient quand delà fonction donnée on retranche une série de fractions rationnelles, ne peut être qu'une fraction de même espèce, mais qui ne puisse jamais devenir infinie, ou dont le dénominateur ne puisse jamais s'évanouir. Dès-loi^ le dénominateur de (f (x) doit être constant, et (f(x) ne peut être qu'une fonction entière de x.
De plus , si dans la fraction rationnelle f(x) = ^—-4 le "^ -^ ^ ^ F (x)
degré du dénominateur surpasse le degré du numérateur,
cette fonction s'évanouira pour des valeurs infinies de x,
ainsi que l'expression c. ^ . D devra donc en être
aussi de même de la fonction entière <f(x). Mais une
de la variable z , on en conclura
£//rf/ (x, z)\\ ^ dC{(/(x,z))) ^
c'est-à-dire que le résidu intégral de la différentielle est égal à la différentielle du résidu intégral. . Nous conclurons plus tard de ce théorème que l'intégrale du- résidu est égale au résidu de Tintégrale.
8. Ce que nous venons de dire sur les principes du calcul des résidus suffit. Il reste à faire connaître une de ses principales applications.
Application à la transformation d'une fonction qui devient infinie pour qiertaines valeurs, et à la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
En supposant que la fonction f(x) devienne infinie pour x = X, , mais de telle sorte que le produit (x — XiYf{x) z=z ((x) conserve une valeur finie , nous avons trouvé
-+- — i-'- f -^ nm^u'\+ î f ^"' [*■ + ^ (^-'■)J-
i.2.3...(w-i) f^"^*)(x,) i.?..3...iw
Posons
(p (or) aura généralement pour x = Xi une valeur finie
,r— — , et par conséquent, en retranchant de la fonc-
lion f{or) la somme
gL.\RA^TE-l NIÈMK LEÇON. 497
vl par suite
Cette dernière équation est la formule d'interpolation de Lagrange.
ia°. Reprenons récpiation /(x) = c LiZLAZ.
Si après avoir multiplié ses deux membres par .r , on attribue à la variable x une valeur infinie, et si Ton désigne par F\9l valeur correspondante du produit xf{x)^ on aura
et en passant à la limite i.
Si la quantité /*' s'évanouit, on aura simplement
Cette dernière formule subsistera toutes les fois que dans la fraction rationnelle, désignée par f{pc)^ la diflérepce entre le degré du dénominateur et celui du numérateur sera supérieure n Tunité; alors, en effet, dans
le produit xf(x) = —/-y» le degré du dénominateur est
encore plus grand que celui du numérateur, et ce produit s'évanouira par conséquent ({uand on fera .r = oo.
Si la quantité F vteih égale à l'unité, ce qui aurait lieu
i>ar exemple si dans la fraction rationnelle —7^, le degré
du dénominateur surpassait d'une unité seulement le degré du numérateur, ri si de plus les coe(licient,s de la T. I. 3'J
(:\LCl L niFFÉRENTlKL.
«lus liaxiK- piiissanc»' tl« x au numérateur v.l au dénoniinaivur «.'taient égaux, ou aurait
KxcmpiP : J\.r) — rz. ' V \T7" '^'"^ " Ir- ~\;"^ ' ' ^ \X — Jr,)(jr — JT,'.. (.r — ,r„;
on aura
(jr,~x,)...(x, — oTh,) (j:« — x,)...(jr„ — x„)
la somme du second membre sera égale à o si n<^m — i cl é^çale à riinité si n = ni — i , ce qu'on savait déjà.
X^UABAMTE-DEUXIÈME LEÇON. 499
