QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON

PriiieipM élémenUires du caloal direct aux diflfiérenccs finies.

Soit y = f{x) une fonction quelconque de la variable x^ et A un accroissement quelconque attribué à cette variable ; f{x + A) — y^(j^) est ce qu'on appelle la différence finie de la fonction y \ on désigne cette même différence par la notation Ay, ou ^f[x) \ en sorte qu'on a, eu supposant

Lorsqu'on suppose j = x^ l'équation précédente devient

Ax = h.

La différence finie de la variable x n'est donc autre chose que l'accroissement h attribué à cette même variable.

Si l'on prend successivement pour )^ différentes fonctions de :r, on obtiendra pour A> autant de valeurs correspondantes qui seront fondions de x ci do //. On trouvera, par exemple, en supposant

- aXy ^y^=za(x-\-h) — ax=zahy

: a' y Aj = fl'+* — a' = (fl^ — 0^'»

: 9xnaXy..,sy=:zsm(ax-^ah) — sin/iJfmrasin ( — jcosl ax '\ ],

.^1^8 r\LClL niFFÉRENTIEL.

plus liaufr puissance île x au numérateur et au dénominateur étaient é^aux^ on aurait

Kxcmp/r : J\t) = ^^-^^^-^ ^ 7:r- x,) ' on aura

la somme du second membre sera égale à o ûn<C^m — i. et égale à Tunîté sî n = m — i , ce qu'on savait déjà.

ql'AHAiste-dkiixikmf. le^:on. 5oi

««Il aura

D'ailleurs A.,r",A.a.'"-*,... Aj^soiitdes fonctions rationnel- Icsdexetde A, dont une seulement, savoii/A.a:", est par rapport à cjç du degrë n — i , les autres étant d'un degré inférieur. LadilFérence finie d'un )K)lynome en x du degré n est donc un nouveau polynôme en x du degré n — i . Revenons maintenant à l'équation générale

lorsque Ton considère Taccroissemeiit de la variable a' comme une quantité constante, la valeur de A^ déterminée par cette équation est une nouvelle fonction de x. La différence finie de cette nouvelle fonction, savoir A. A^ , est ce qu'on appelle la différence finie du second ordre de la fonction j^ •, on la désigne, pour abréger, par A^. De même, la différence finie de A*^ est ce qu'on appelle la différence finie du troisième ordre de la fonction j ; on la désigne, poui* abréger, par AV? et ainsi de suite. En général, lorsqu'on a pris n fois de suite la différence finie de la fonction V, le résultat est ce qu'on appelle la différence finie du /*'*"" ordre de la fonction j^, et s'indique par la notation A"v. On a donc

S^jr = s. Aj, }}y == S . ^ \y — a A \>; et AV = A . A" " '/.

Les différences finies des divers ordres d'une fonction j' s'obtiennent avec la même facilité que la différencre finie du premier ordre, et |)euvent ((uelcjuefois s'exprimer d'une manière très sinqJe. Supposons par exemple jy=/i'

En prenant plusieurs fois de suite les diftërences finies des deux membres de Téquation précédente, on trouvera

\\y = (fi^ — i) :\.^£' —■ n^ — i)»/i^, a'j zz: f/l* — l)'A.a' :::::: (V?* — l)'«',

:)Oo r..ii<:i:i. niFF^.ikCiSTiEL.

Kiifiii si 1*011 j)nM:«l î =^ .»'". m ()('*signaiit un iionibrr eu lier, on trouvera

\A\h difi'érences finies des fonctions de fonetioiis, des fonrtions composées, se déduinml avec la même facilité de ré(|uation ('2). On peut m<^me faire à ce sujet cjuelque> remarques qu'il importe de retenir.

Soi ent d'aboixl

u désignant une fonction de la variable .r, et a une quantité constante; on aura

.\r=:aF{x+/i)'-'aF(x)=:a\¥(x'hh)^¥(x)]=aiu.

Soient, en second lieu ,

) :rr 1/ -I- P 4- «■ -f- ...etc., U = F(x), v = F(x), w=:f{x),,,y

n^ t', w désignant diverses fonctions de la variable x^ on trouvera

\Y = ¥{x -^ h) -h F{x -h ^) -h fix -h //) -h ...

— F(x) — F{x) — fix)—...— \H-\- SV -\- MV -4- ...

Knfin si Ton suppose

y = au -h />P H- ctv -h . . . ,

// , i^, w désignant des fonctions de la variable x^ et a, A, v des quantités constantes, on trouvera encore de la même manière

ly z=z (i\u -h àsv -f- fMv -h . . . .

Si l*uu prend pour y un polynôme entier du degré n. ou si Ton fit

y = fljc» -H bx""' -h -h /x -f- /,

QUARAMTE-DEUXIÈMË L1ÎV<>^* ^^^

diilerence finie d'un ordre supérieur sera évidemment nulle. Ainsi les différences finies d'un polynôme du degré n s'évanouissent lorsqu'elles sont d'un ordre supérieur à ce degré. Ce résultat sid>siste évidemment dans le cas même oii le polynôme se réduirait k un seul teime. On trouvera , par exemple ,

^«-l-i^^ = G,. . û^+'.o;:» = o, etc.

La différence finie de l'ordre n d'mi polynôme du degré n étant une quantité constante, on peut être curieux de connaître la valeur de cette même quanlité. Soit donc

X = ax* -h ^x*""* . . . -h Aa: -h /.

Si l'on prend n fois de suite les différences finies des deux membres de l'équation précédente , ou aura

Reste maintenant à déterminer la valeur de A".x"; or on a déjà trouvé

A.x* = nhaf""' -H - . — ^— à'x^* -f- etc.

Si l'on prend n — i fois de suite la différence finie des deux membres de la formule précédente , en ayant égard aux équations

A»"«.X*-» == O, A^'^X^-^ = O, . . A" 'JC = O,

on obtiendra la suivante ou, ce qui revient au même,

5o4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On trouvera de la même manière

Ax = I .A.

En multipliant respectivement ces diverses équations Tune par l'autre , et supprimant dans le résultat les facteurs communs , on trouvera

A" «a?" = 1 . 2 . 3 • . . (/i — i) /lA".

Cette valeur de A" .a?", substituée dans la formule A'y = a A^.x" , fera connaître la valeur de A*^ dans le cas où l'on suppose j- = ojC" + baf*~\.. -4- etc., et Ton aura pour cette même valeur :

A'jr = I . a . 3 . . . /laA". Supposons maintenant généralement

Si Ton prend plusieurs fois de suite les diflërences finies des deux membres de Téquation précédente . on en conclura successivement,

A*/=A/(ar4-A)— A./{x)=/(x4-2A)--/(x4-A)--/(x+A)-+-/(x)

à^jr=z A./(x -h aA) — 2A./(x-|- A) ■+- A./(x}

=/(x4-3A)— /(x-4-2A)~ti/(x4-2A)H-^^(x+A)4V'(^4-A)--/(x)

et ainsi de suite.

Si Ton fait , pour plus de commodité ,

et en général

/(x -h nh) = j^.

QliARANTE-DËLlXlÈME LEÇON. DOD

les équations précédentes deviendront

^y = r> — Vi -+- r»

Ou trouvera de même, eu général,

^y = r» — -r»-» h — - rn-a . . . :+: nx,±: y.

Pour démontrer rigoureusement cette formule, on commencera par observer que la valeur de A'y , obtenue par des calculs semblables à ceux qui précèdent , est nécessairement une fonction linéaire des quantités y, j", , /i, . . .j"„', puis on déterminera cette même fonction à Taide du théorème suivant.

Théorème i*'. Pour déterminer une fonction linéaire des quantités j-jj-.jj^,, . . . j"„, il suffit de calculer la valeur particulière que reçoit cette fonction dans le cas où Ton suppose ^=fl'5 de remplacer, dî^ns cette valeiw particulière, a* par Tunité, a^parj'^ de développer le résultat obtenu suivant les piûssances ascendantes dej", et de substituer dans le développement

rn à jr«,

c'est-à-dire de remplacer les exposants par des indices. Démonstration. Soit en ellel

5o6 CALCUL DIFFÉREMTIBL.

la fonction linéaire dont il s'agit, A, B, C, etc., désignant des quantités constantes. Si Ton fait^ =: a', on trouvera

r» = /!'+»*, etc.,

et par suite la fonction u obtiendra la valeur particulière qui suit

et pour en déduire la fonction proposée elle-même, il suffira évidemment de poser a* = i , a* = J', et de remplacer les exposants de la lettre y par des indices, la varitUe y:=.f{x)étjajxi, censée correspondre & Tindice o, ou, en d'autres termes, les deux expressions y^ et y étant considérées comme synonymes.

Au moyen du théorème qu'on vient d'établir , on déterminera facilement la valeur de ÙTy en fonction dp

Xi X^i X*9''''9 X*'

En effet, ù^"y devant être une fonction linéaire de ces mêmes quantités, on pourra déduire sa valeur générale de la valeur particulière correspondante à jr = a' ; or, en supposant j" = a^, on a déjà trouvé

Si dans le second membre de cette équation on remplait: a' par l'imité, et a* parj^, on obtiendra la formule symbolique

xy = (x — i)\

Si l'on développe le second membre de cette formule suivant les puissances ascendantes de^, et que l'on remplace dans ce développement les exposants par des indices ely^ par y, on trouvera, pour la valeur générale de A").

// n In — i) .

A" r =: 7„ — - v„ . -+- '-— -^ .r«- 1 q= "Ji ± X-

m % Je

Ql; A R Ain TE-DEUXIEME LEÇON. 5o7

Nous veuonsd'exprimer A'y en fonction de j', j^,, j^,.*» On peut réciproquement exprimer y^ en fonction de y^ t^y^ ^y^ etc. On y parTient de la manière suivante : On tire de Téquation

Ar = r. — j> r. = rH-Ar,

ou , si Ton fait y = f{x)^

Cette dernière équation subsiste , queUe que soit la fonction fÇx). Si l'on y met successivement à la place dcf(x)

/{x-hh), /(x-h2>i), /(x-^nh),

on obtiendra les suivantes :

/{x -h nA) =/[« -4- (/i — i) A] 4- A./[a: 4- (/i — I ) /ij , ou, ce qui revient au même ,

^3 =r* H- Ar»>

Si dans la première des équations précédentes on remet pour yi sa valeur y -f- Ay, on trouvera

r» =yt -h AJ, = J^ H- AJ^ H- AJ -h A*J^ = ^ -f- aAj -H A»/.

De même, si Ton remet cette valeur de j^i dans Téquation

^3 = Ja -H AJ,,

on trouvera

r3=raH- Ar,=r -i- ^ ^r -h ^v -»- v -i- 2a»j4- A\r

5o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

En continuant de même on trouvera généralement

Pour démontrer rigoui*eusement cette formule, ou commencera par observer que la valeur de j^„ obtenue par de^ calculs semblables à ceux qui précèdent est nécessairement une fonction linéaire des quanti tésj^, Ay, A*j, A-y; puis Ton déterminera cette même fonction à Taide du théorème suivant :

Théoeème a"*. Pour déterminer complètement uiic fonction linéaire des quantités j^, Ay, A'y, etc., il suffit de calculer la valeur particulière que reçoit cette foncliou dans le cas où l'on pose j^ = a', de remplacer dans œiti* valeur particulière a' par y^ «* par i -f- A, de développer le résultat^btenu suivant les puissances ascendantes de A, et de substituer dans ce développement, à chaque produit de la forme A** Xj^i la dilTérence finie A"r- Démonstration, Soit

A^.H-BA/-4-CA»r. .

la fonction linéaire dont il s'agit. Sa valeur particulièn' correspondant au cas où Ton suppose j' = af sera

[A H- B (fl* — i) + C (fl* — i) * . . .] fl*.

Si , dans cette val eui' particulière, on remplace ii^ |)ar > . a* par i -4- A, on obtiendra l'expression

(A + Ba -hCA»4- . ..).>' = Aj -f- B.\X jH-Ca» X r...

et si , dans cette dernière , on considère Ay , A*y, etc. , comme représentant, non les produits de A, A' par >, mais des diflerences finies du premier, du second ordre, etc., on relrouv<*ra évidemment la fonction linéaire proposée.

Cherchons, a Taide de ce théorème, la ^aleur ijénérale de Yn <în fonction de >', A^, A'r. .. On trouvera d'abord.

Ql :An.VKTE-DELXIKME • LKÇON. 5oQ

VU faisant y = a' ,

Si , dans le second membre de cette équation , on remplace a' par y^ n^ par i + A, on obtiendra la formule symbolique ^

En développa tit cette dernière et substituant aux produits A^, ù^y les différences finies qui s'écrivent de la même manière, on trouvera

ce qu'il s'agissait de démontrer.

Dans la demièi*e leçon , nous avons démontré les deux équations

=r/(4- -h/ï/*) + "/[j:-h(/i — i)A]-f-...ip-/(^ -I- ^') ±/W»

et nous avons remarqué que l'on pouvait présenter ces deux équations sous une forme symbolique en écrivant

Nbus allons maintenant donner quelques applications de ces mêmes formules.

Si l'on suppose dans la première j^ = x*, m étant un nombre entier inférieur à/î, A", a:™ étant alors égal à zéro, on trouvera

(x-h/iA)-— -[ar-|-(/i— i)A]-.. =|Z-(j:-4-A)"±j:'"=o. ^Si l'on suppose au contraire y = x'% on aura, comme on

5 lu CALCLL DIFFÉREINTIEL.

Ta fait voir dans la dernière lecou ^

A".jr" = 1 .2.3. . n^", et par suite

(x-hnhY [j:-I-(/i— i)AJ'...±:a:" = i.2 3 ../lA».

Si dans les formules précédentes on fait x = o, les deux membres de chacune d'elles deviennent divisibles par hr ou A", et Ton en tirera

w"t (/i — i)--f--^ ^ r,i 2)« __ etc. =o,

n" (;i — i)"-|--^ i(/ï — î)* — etc. = i.a.B.. «.

La dernière de celles-ci sert à démontrer le théorème de Wilson , savoir, que le produit i .2.3 . . . /i , augmenté de Tunité 9 devient divisible par n + i ? toutes les fois que /» + I est un nombre premier. Ainsi , par exemple , le produit 1.2.3.4 = ^4? augmenté de Tunité, devient divisible par 5 . Le produit 1.2. 3.4*5. 6= 720 , augmenté de Tunité, devient divisible par 7.

La démonstration de ce théorème ^ fondée sur la série que je viens de rapporter, a été donnée par Lagran^re dans Içs Mémoires de Berlin, et par-Eulcr dans ses Opu»* cules analytiques. Ceux qui désireront en connaîti-e les détails les trouveront dans la Théorie des nombres de Legendre, k la tête de la seconde partie.

Je passe maintenant aux applications que Ton peut faire de la formule

/(x -h nh) =y-\ — Ar -h - A*v -f- etc.

Si Ton suppose dans cette formule /i/i = A, j:=Xo et que Ton désigne respectivement par j„,Aj,„A*yo, etc.,ccque deviennent/, Ay, ù^y^ etc., en vertu de Thypothèse

QllARANTK-nEI)XIEME I.E<;ON. ;) I I

X == j:^,, on aura

Si Ton faîl dans celle dernière Xo + ^ = X, on irouvera

Touiefois, celle dernière équaiion suppose queX — Xo=h esl un mulliple de h.

En rccouranl à des équations du genre de celles que nous avons déjà nommées équations symboliques, on peul retrouver d'une manière très élégante et très simple les deux formules fondamentales du calcul aux difl'érences finies. La notation D, indiquera, comme nous Tavons déjà admis , que Fou prend la dérivée par rapport à or , et les dérivées successives d'une fonction quelconques^ de x seront représentées par les notations Dx^f Kj', ... Ty"j. On aura dès-lors , en vertu de la formule de Taylor,

ou , ce qui revient au même ,

Cette équation symbolique subsiste quel que soitj^, ce que Ton exprime en écrivant