Trouver une courbe telle, que l'aire comprise

entre la courbe elle-méme, sa développée et ses deux

rayons de courbure extrémes soit un minimum.

Soient s l'arc et ple rayon de courbure; l'aire comprise entre la courbe, sa développée et deux rayons de courbure

s'exprimera par — ds. Prenons l'arc s pour variable inprimera p Lit P

dépendante, les coordonnées x, y pour des fonctions à

déterminer, et désignons par x’, x”,...,7,7",..., leurs dérivées successives relatives à s, ces fonctions seront liées entre.elles par la condition |

x’? + me — I :

et le ‘problème se réduira à chercher le minimum absolu

de l'intégrale ss [ [op + (x? + y2—1)]ds, L/ on

À étant une fonction de s, inconnue, mais iuvariable de

forme. On peut regarder p comme une fonction explicite de x”, y”, puisqu'on a

je out Va"? + 9 $4 ce qui donne dp ; de Don er pars Du Dy".

ÿ:| y e Cela posé, en conservant les notations du n° 118, on trouve

aN d P:=2) 21, P, p BEL PSE ! dp dit 0° TX , dV do 92) Lime ES AE ET Er A à RE de dy” PJ

Puisque P et Q sont nuls, les équations indéfinies deviennent |

dP, d©Q, P, — a, Q,— MER à ds .

OU / d | 2 1x + px” + 3p° Ex TA ds (1) .

e 4 (7/1 de 771 21 + PY A À db,

+ a et b étant deux constantes arbitraires. Ces équations

] ointes à

nn2 V9 Re L'H+y =,

doivent servir à déterminer x, y, À.

Rappelons-nous d'abord les relations générales faciles

COURBES PLANES. 249 à déduire ad! fs y'y" — 0,

+ y'y" EM (ai + 772) = —, 9

(271) LRENID Pi ZI = —