EE
le signe supérieur ou inférieur ayant lieu suivant que le rayon p du cercle osculateur fait un angle aigu ou obtus avec. les y positifs.
Cela posé, en éliminant À entre les équations (1), on trouve
SU ie ser
ps (yæl — 2" y Le 3 p° . (PTE x) ar Ur,
équation qui s intègre sur-le-champ, et donne : | G(y'x" — x'y") = ay — bx + ce, ou bien
eo
2) p=ay — bx+ce,
en supposant que la courbe tourne sa concavité en bas, ou vers les y négatifs.
Les mêmes équations (1), multipliées respectivement par x”, y”, et ajoutées, donnent d’ailleurs
dp
p(e"2" + pp") + 8 ÉE (a PE a0 + by",
OU
do
D ETATS by”,
et en intégrant, (3) 20— ax — by = À.
k étant une nouvelle constante arbitraire.
124. Chacune des équations (2) et (3) peut représenier la courbe cherchéé: Pour déterminer les constantes qu’elles renferment, il faut faire intervenir les termes aux limites de la variation. de limtégrale. Si l’on LEVÉ indistinctement E) 7 Ebimlesivaleurs de x, y, x’, y! correspondantes à l’une ou l’autre des extrémités de la courbe, ces termes peuvent s’écrire
F è dP 1Q, | y —(r — at — (a es V'— Pix" — O7” Lis $, / |
rh Par HONTE | et + ide #) me (QT) Pier EL. Un ou, en ayant égard aux équations (1}, (3), 7 D LR
" AS AD(S — 5) +] 4 a JE + bon — pa 2 0. \.
s, Comme la longueur 5, — 5, de la courbe m'a pas été fixée à priori, la variation 0(s, — s,) reste arbitraire, et son coefficient À doit être nul, ce qui réduit l’équa® tion (3) à
(4) ee CRETE
Telle est donc l'équation générale de la courbe. Voyons ce q elle devient dans des cas particuliers.
° Lorsqu'un des points extrêmes de la courbe est enins indéierminé, que l’on ait fixé ou non la direction de la tangente en ce poini, les variations dE, On de ses coordonnées restent arbitraires, et leurs coeflicients éga-
lés à zéro dans les termes aux limites donnent ad = Leo.
L’équation (4) de la courbe se réduit, par conséquent, à p — 0, équation impossible qui avertit que dans ce cas il n’y a point de minimum.
2% Supposons que les points extrêmes À, B de la courbe soient donnés. On a d£ —0o, les variations dE! dr! restant arbitraires (n° 120,1°); leurs coeflicients égalés à zéro donnent pour les deux limites
nt — 9, RE — 0, .oil pa = 0, Fay" — HE puisque px” —7y", 97” — XMOr. x’ et y’ ne peuvent
pas être nuls en même temps, puisque la somme de leurs carrés est égale à l’unité, il faut donc que p s’évanouisse aux deux points extrêmes, ou que l’on ait
aYÿi— br, + c—=0, ay: — bx; +c—o,
Li, Vis T2 Va étant. les coordonnées des points À, B. Prenons la droite AB pour axe des x; les coordonnées Ÿ15.72 seront nulles et les équations aux has devenues BEC, DES; donneront b(x; —x;) — 0, ou b — 0, et par suite c — o. Les équations de la courbe (2) et (4) se réduisent alors à
D Are AL,
et l’on en tire successivement PS LE FR: 27 UT À a —— = — + 4er, dx? + dy° a
ds SEE Ê GR AET
Jl est. facile de reconnaître dans cette dernière équation l’équation d’une cycloïde engendrée par un cercle de
rayon à : qui roule sur V axe des x. Comme, en outre, les
ES de l’are se trouvént sur ce même axe, on serait tenté d’en conclure que la courbe cherchée est une branche de cycloïde complète, tracée entre les deux points donnés A.et B. C'est du moins le résultat auquel on s’arrête ordinairement.
On ne peut pas se dissimuler cependant que cette conclusion renferme quelque chose d’arbitraire, et qu’au fond rien ne prouve que la courbe doive se composer plutôt d’une seule que d'un nombre quelconque de cycloïdes. En supposant que l’on construise entre A et B (RE 5) 12,55 Branches de cycloïde égales et con-
