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sécutives, on trouve pour l'aire comprise entre la courbe, sa développée et ses deux rayons de courbure extrêmes,

Zoe Fr If Q , ou pour l'intégrale — f pds, des valeurs proportionnelles

ù I I ip Me, DE PE en sorte que l'intégrale diminue indéfiniment et tend vers zéro, à mesure que, les cycloïdes se multiplient et tendent à se confondre avec la droite AB! Il parait donc que la droite AB considérée comme la liinite d'une infinité de eycloïdes, est une espèce de soluton singulière du problème, et que la cycloïde unique ACB ne donne un minimum qu’autant que l’on assujettit la courbe cherchée à ne pas avoir de point de rebroussement entire À et B.

3° Considérons encore le cas où les extrémités À, B

à di

COURBES PLANES. 253 doivent se trouver sur deux courbes données. Les varia-

tions d£’, On’ étant arbitraires, on a d’abord, comme dans le cas précédent,

ay, — br, +cz=o, ay:—br;+c—=o, ou

Lo — X, ED ms A ee Ferre EE

équation qui exprime que la droite AB fait avec les axes des x et des y des angles dont les cosinus sont proporüonnels à a, b. Les iermes aux limites fournissent en outre pour chacun des points À, B la condition

a dE + bdn = 0.

Or, puisque le point £, n ne peut varier que suivant la courbe limite, dË, dn sont évidemment proportionnels aux cosinus des angles que la tangente à la courbe limite fait avec les axes des coordonnées. La dernière équation, jointe à la précédente, exprime donc que la droite AB est normale à chacune des courbes limites, ou que c’est la distance la plus courte enire ces courbes. Après avoir détérminé par cette condition les deux points limites À, B, on aura la courbe cherchée, en les unissant par une branche de cycloïde complète.