PROBLÈME X

125. Trouver la courbe qui a le plus grand ou le plus petit moment d'inertie par rapport à un point donné.

Prenons le point donné pour origine des coordonnées et l'arc s pour variable indépendante, le moment d'inertie de la courbe sera exprimé par f(x° + y?)ds, les fonctions æ et y étant liées entre elles par la condition x'?+y® = 1; le problème revient donc à chercher le

maximum ou le minimum absolu de l'intégrale

SE | 2 + y + (x? + 72 — 1) ds,

es,

dans laquelle À est une fonction de s de forme inconnue, mais invariable.

On a V= 2 + y +i(xt+ pi), Boire ee RSS 7. ARR E

à dR dQ et les équations de la courbe P——-—o, 142 ds ds deviennent (er Aa (1) NUL NOT 2 d l Y—\Y —À1Y —=o, auxquelles il faut joindre ‘à

x’? + y"? SN.

Si l'on retranche l’une de l’autre les équations (1), multipliées la première par y, la seconde par x, on trouve.

ou (xy— ay) +A(xy" — x y) = 0, et en intégrant, (2) (ay — 27) 0.

Les mêmes équations (1), multipliées respectivement par x’, y", donnent d’ailleurs

xx! + y! —\ = 0; d’où l’on tire, en intégrant,