AA MN MA RENE
CT
Eliminant À entre les équations (2) et (3), on trouve
(4) (a+) (ay — ay) 0e,
équation générale de la courbe cherchée. IL parait difhcile de l'intégrer sans déterminer d’abord les constantes e et À, mais elle conduit à une relation remarquable entre le rayon de courbure p et le rayon vecteur r. En effet, quand on élimine À’ entre les équations (1), il vient ty! pr =)(y'a ay )=T =;
on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur, sui-# vant que le-rayon de courbure fera un angle aigu ou obtus avec les y positifs (n° 123). En reportant cette va-
leur dans l'équation (2), on trouve
= cp, formule qui montre que la constante c doit être positive ou négative, suivant que la courbe tourne sa convexité en
haut ou en bas. L’élimination de À entre cette formule et l'équation (3) donne enfin
# / pe €
Ainsi le rayon de courbure p est une fonction algébrique
du quatrième degré du rayon vecteur r.
126. Avant de discuter les conditions aux limites que la courbe doit remplir dans les divers cas particuliers, remarquons que si l’on appelle £, n les coordonnées de l’une ou de l’autre des extrémités de la-courbe, on verra les termes aux limites de la variation 0S'se réduire à
Ed (83 — +] ee)
Cela posé, admettons d'abord que la longueur de la courbe soit donnée. Le terme Ad(s, —s,) disparaîtra avec la variation d (s,— s;) sans détermination aucune de la constante #. Si l’on suppose en outre que l’une des extrémités soit fixe et l’autre mobile, les coordonnées de la seconde extrémité devront satisfaire aux conditions P, — 0, Q;— 0, ou
et comme x’, y’ ne peuvent pas être nuls à la fois, il en résulte que la fonction À doit s’évanouir à la limite dont il s'agit, ce qui détermine la constante c, car l'équation (2) exige alors qu'on ait c — o. Par suite, l’équation (4) de la courbe devient
LV MT O0) ? \ 9 » La , d’où l’on tire, en intégrant, Pia
équation d'une droite passant par l’origine. IL est d'ailleurs facile de comprendre, indépendamment de toute démonstration, que cette droite donne le minimum ou le maximum, suivant qu’elle se dirige du point fixe vers le centre des coordonnées ou en sens opposé.
127. Considérons en second lieu le cas où l’on se propose-seulement de mener entre deux points donnés une courbe telle, que son moment d'inertie soit minimum, sans déterminer d'avance la longueur de la courbe. La variation O ($»—5,) étant arbitraire, on aura k — 0, ce qui fait prendre à l’équation (5) la forme
D — mr".
La courbe jouit donc de cette propriété que son rayon de
COURBES PLANES: 257 courbure est proportionnel à la quatrième puissance du rayon vecteur.
Ajoutons que l’équation différentielle de la courbe
sera
ædy — ydx 2 2 ___ — e Te) ds FRE
ou, en coordonnées polaires,
il paraît dificile d’en tirer quelque résultat simple. LS ProgiÈmMEe XI.
128. Trouver la position d'équilibre d’un fil flexible et inextensible dont les extrémités sont attachées à deux points fixes.
On sait, par les éléments de la mécanique, que le fil ne peut être en équilibre qu'autant que son centre de gravité se trouve le plus bas possible.
Admettons d’abord que la densité du fil varie d’un point à l’autre, et désignons par x la masse d’une unité de longueur du fil; x sera une certaine fonction de l’ares. En supposant l'axe des y vertical et opposé à la direction de la pesanteur, on trouve pour la coordonnée verticale du centre de gravité du fil l'expression
J'urds J'éds” telle est la quantité qu’il s’agit de rendre minimum, tan dis que la longueur du fil et, par conséquent, sa masse entière fr.ds doivent rester constantes. Donc, si l’on prend l'arc s pour variable indépendante, les conditions du problème seront
Hard vmme L'ÉcActt ire =, IV. k7
et la question se réduira à chercher le minimum absolu
de l’intégrale
Se, "À By +e) + (a + y 1) ds, Ss
c étant une constante et À une fonction indéterminée de s.
Cela posé, on a
V= pr pe) RX (re 1), Boss moin 0 OR RIRE
LME el dP dQ, et les équations indéfinies P — =" —0 LH BORESE q ds À oi ds deviennent d.1x!
2 — 0, ds dé\y} 2 — y.
ds F
En intégrant et faisant, pour abréger, M— fe ds, où trouve 7 [| 214" a, (1) ) | 219 =M +6,
a et b étant des constantes arbitraires. Elevées au carré et ajoutées, les équations (1) donnent 21= EVaët (M +}, et, par suite, en éliminant 21, 4 ads | VeEMES) ; M b\ds | dy = + “NM EP SE Va? + (M + 0}
Lorsque la fonction y est connue, on peut intégrer ces équations, et obtenir x, y exprimées en fonctions de s. En éliminant s on aura ensuite l’équation de la courbe cherchée. |
129. Mais on peut renverser la question et demander quelle doit être la loi de densité, ou la fonction x, pour que le fil se dispose suivant une courbe déterminée. En divisant l’une par l’autre les équations (2), on trouve
dy
M - b— a —— > dx
et en différentiant par rapport as
‘ d y AUTRES dM dx De b sr 4 [44 e ds ds
L'équation de la courbe étant donnée, on peut exprimer le second membre en fonction de s, et déduire ainsi la forme de la fonction w. Si l’on demande, par exemple, que la courbe soit un are de cerele de rayon r, On aura
de peur is
AE
dy SR
eu
— tang = dx 8,
Parc s étant compté à partir du point le plus bas, et, par conséquent,
a $ L ==\> SEC? =.
Telle doit être la loi de densité du fil, pour que, dans son état d'équilibre, il affecte un are de cercle.
130. Supposons maintenant que la densité soit constante. Si l’on fait u —1, on aura M—5s; substituant cette valeur dans les équations (2) et intégrant, on
260 CALCUE DES VARIATIONS.
trouve SL DE Vars 0 T— h = 4] SH Va (re) &
J —A= Vas F6},
et, en éliminant s + b,
La courbe est donc, dans ce cas, une chaînette. Les trois constantes que renferme son équation, se déterminent par la condition que la courbe passe par les deux points fixes, et qu'elle ait entre ces points une longueur donnée.
Si les extrémités du fil, au lieu d’être attachées à deux points fixes, comme nous l'avons supposé jusqu'ici, pouvaient glisser sur deux courbes données, on trouverait facilement, en examinant les termes aux limites de l'intégrale proposée, que l'équilibre n'aurait lieu qu’autant que les extrémités du fil seraient normales aux courbes limites. Ce résuliat subsiste quelle que soit la loi de densité dans le fil.
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