ONZIÈME LECON

Recherche de courbes dans l’espace; cas où l’on prend l’are pour variable indépendante. — Ligne la plus courte sur une surface donnée. — Ligne la plus courte de courbure constante.

131. Lorsqu'il s’agit d'appliquer le calcul des variations à la recherche d’une courbe dans l’espace, rapportée à un système de coordonnées rectilignes et reciangulaires x, y, z, ôn peut regarder deux quelconques de ses coordonnées, par exemple y et z, comme fonctions inconnues de la troisième x. Mais il est souvent plus commode, et toujours plus élégant, de prendre Parc s pour variable indépendante, en considérant x, y, z comme trois fonctions à déterminer, et liées entre elles par l’équation différentielle

dx? + dy?+ dr! = ds?,

dont on tiendra compte au moyen d’un facteur indéterminé, fonction de s (n° 49). La marche à suivre dans la recherche des courbes planes, lorsqu'on prend l’arc s pour variable indépendante, exposée dans la leçon précédente, s'étend d'elle-même au cas de courbes dans l’espace, et il suffira de donner ici un aperçu succinct des formules relatives à ce cas plus générals,

Soient x, y, z les coordonnées rectilignes d’un point quelconque d’une courbe dans l’espace, x’, x”,..., y", y',..., 2°, 2”,... leurs dérivées successives, prises par rapport à l’arc s, et supposons qu’il s'agisse de déterminer

la forme que doit avoir la courbe pour que l'intégrale

5h r TER / 2 l'A ES PROS 77,2 2 s

devienne maximum ou minimum. Les fonctions inconnues x, y, z étant liées entre elles par la:condition

DH y Hz 1, si l’on fait V=EF+ (2 + r2+z— 1), À étant une fonction indéterminée de s, le problème reviendra à chercher le maximum ou le minimum absolu

Sir [ V ds.

de l’intégrale

Désignons respectivement par P, P,, P,, Q, Q;, ©,, R, R;,R, les dérivées partielles de V relatives à x, x’, x, Ys Vs 7" 2, 2', z”, nous aurons, pour déterminer les formes générales des fonctions x, y, z, À, les équations indéfinies

p d P, d?P; AN SN 5 Far À | dQ, d?Q; [! { — ——— == (1) +10 ds Là ds? É dr, d'R; Pro 0 TE #'Èe

auxquelles il faut joindre Lea Zi jp,

Dans tous les cas où la fonction F, dans l'intégrale proposée, ne renferme pas explicitement Farc s, mais seulement les coordonnées x, y, z avec leurs dérivées,

les équations (1) admettent une première intégrale facile à obtenir. En eflet, puisque non-seulement la dérivée partielle de F relative à s, mais aussi celle de V par rapport à À, ou x°+y'?+ 3/25, sont nulles, la dérivée totale de V se réduit à

av é 1 F

TE 4 + P,x”—+ P,x

où 0 4 A D 6 1 Alan mt 2 5 28 ue ER zh

Si l'on y substitue les valeurs de P, Q, R, ürées de l'équation (1), le second membre deviendra une dérivée exacte, et il viendra, en intégrant,

| h Hit Pix + Qir' + R,z/

d P, d ST EN RER en ap ve i MM 4 ds rt

132. La considération des termes aux limites de la variation 0S conduit très-facilement aux conditions que doivent remplir les extrémités de la courbe. En appelant indistinctement £, n, €, £', v!, €! les valeurs de x, y, z, x!, y, z!, correspondantes à l’une ou à l’autre des limites de l’intégrale, et supposant toujours que F ne renferme pas explicitement l’are s, on verra ces termes se réduire à

Sa + l (P,DË + Quon' + Rd),

et l’on en conclura tout d’abord que la constante # devra ètre nulle toutes les fois que la longueur 5, — s, de l'arc

ne sera pas déterminée à priori. Examinons maïntenant les deux hypothèses suivantes :

1° Les points extrémes de la courbe sont fixes. — On a dE—o, 0n—o, d6 — 0, tandis qu'il est permis de regarder les variations dE", dn', 06’ comme arbitraires et indépendantes les unes des autres, puisqu'on a déjà tenu compte, au moyen du facteur À, de la liaison qui existe entre x’, y’, z!, et, par suite, entre les valeurs limites £”, n', €’ de ces dérivées; on en conclura que les trois équations PIERo, “OH DV 'REE 0

doivent avoir lieu pour chacune des extrémités de la courbe.

2° Les points extrêmes sont seulement assujettis à rester sur deux surfaces données. — Soit