ENT
l'équation de l’une de ces surfaces, les variations dE, dn, 96 seront hées entre elles par la relation
SET CS Ha — 0 Ë LR MARRON ee ; dE d'h ‘TE dü 5
les termes aux limites fournissent d’ailleurs la condition
: dP; l ( Fo 5) (PT) dE + [Q— ne ) 0n + (a) 0C et \
k si ds ds
Eliminant l'une des variations DE, On, 06, et égalant à zéro les coefficients des deux autres, il vient
P d'E 21 ds
df jt df Er dt dé d'n dé
COURBES DANS L'ESPACE. 265 Telles sont les équations que doivent vérifier les coordonnées de l'extrémité que l’on considère.
Les directions des tangentes extrêmes, ou Îles valeurs de £, x', €", n'étant pas données, on aura en outre, comme dans le cas précédent, les trois équations
P,=o, Geo R.—0o pour chacune des limites.
133. Pour ne pas être obligé d'interrompre la discussion des problèmes qui vont suivre, nous croyons utile de rappeler ici quelques formules relatives à la théorie des courbes dans l’espace et d'expliquer le sens que nous attachons à certaines expressions. Considérons trois droites: A, B, C, prises chacune dans une direction déterminée et faisant avec les axes des x, y, z, des angles dont les cosinus sont : pour la première droite a, a’, a”, pour ‘la seconde b, b', b', pour la troisième e, c, cl; admettons. que-la troisième droite C soit perpendiculaire aux deux autres À et B, lesquelles comprennent entre elles un angle quelconque 8, on aura
ab + ab + à" b" — cos 6 ac. a" cha c==0;
rer He be bici+rb" el; 0 et, en éliminant tour à tour c, c’, c’,
| ab" ab Ab bT abt— x b :
(3) RE — : Fee En > 510 0:
Les cas où il faut prendre l’un ou l’autre des deux signes du dernier membre se disuüinguent de la manière suivante : concevons que par un point quelconque on mène trois droites A, B’ C’ parallèles à A, B, C, ces droites pourront être considérées comme Îles arètes d’un angle trièdre dans lequel deux des angles plans sont droits, et le troï-
sième égal à 0; de même on peut regarder les axes positifs des coordonnées x, y, z, comme les arêtes d’un second angle trièdre, dans lequel chacun des trois angles plans est un angle droit. Cela posé, deux cas sont possibles : les arêtes A’, B',.C’ du premier angle trièdre se suivent dans le même ordre que les,axes des x, y, z, arêtes du second angle trièdre sou elles se suivent dans l’ordre inverse; en d’autres termes,: si l’on applique C’ sur l'axe des z, B' sur l’axe des y, la droite A’ pourra se trouver du même côté du plan yz que l’axe des x ou du côté opposé, de sorte qu’en faisant l’angle 4 égal à 90°, les droites A’, B’, C’ se superposeront dans le premier cas aux axes des x, y, z, tandis que dans le second cas la superposition n’aura pas lieu. Le signe supérieur, dans le
dernier membre dela formule (3), correspond au premier
cas, le signe inférieur au second.
Nous dirons, pour faciliter le langage, que la succes
sion des droites À, B, C est directe dans le premier cas, inverse dans le second.
Si les quantités a, a/, a", b, b',b", c, c!', Cllétaient
seulement proportionnelles aux cosinus des ängles que les droites A, B, C font avec les axes des x, y, z, et
qu'en outre chacune de ces quantités eût le même signe que le cosinus qui lui correspond, on aurait encore
4404 40" a"b—«b” A0 T0 © © —@ÛQ— 2 TE ——— = ———————— c c’ c’
et chacune de ces fractions serait égale à
À (a? + al? + a'?) (PERTE b"?) LE sin 0 VÉEEA LEr «
on prendrait le signe supérieur ou le signe inférieur, sui-
vant que la succession des droites À, B, C serait directe ou inverse.
134. On déduirait très-simplement de ces formules toute la théorie des courbes à double courbure; mais nous ne rappellerons ici que quelques théorèmes fondamentaux. Soient x, y, z les coordonnées d’un point quelconque P de la courbe, les cosinus des angles que la tangente T à la courbe fait avec les axes des x, y, z, seront proportionnels aux différentielles
DEAN des:
de mème, quelle que soit la variable indépendante, di + d'x, dy + d'y,ù dz + «?z
seront proportionnels aux cosinus qui déterminent la direction de la tangente T’ en un point P’infiniment voisin de P. Donc, Si l’on appelle do l’angle de contingence ou l’angle aigu compris entre Les deux tangentes consécutives T, 1”, et X, Ÿ, Z les cosinus des angles que la droite O, perpendiculaire aux deux tangentes, et par conséquent au plan osculateur de la courbe, fait avec les axes des X,Y, Z, ON aura Da |
dy d'z2— d:d'y d:d?xdxd?z dxd?y —dyd?x do
SNS
… X ds .Æ st Col Z ds: RTS
pourvu que la droite O soit prise dans une direction telle,
$ à : 4 NOAS. do que la succession des droites T, T’, O soit directe. ee
étant évidemment réciproque au rayon de courbure p, si l’on prend l’are s pour variable indépendante, il viendra
Pour trouver la direction du rayon de courbure p, ou
les angles æ, 5, y que ce rayon fait avec les axes des coordonnées, nous ferons remarquer que p est à la fois perpendiculaire à la tangente T et à la normale O, ei que, en vertu de ce que nous avons déjà admis, la succession des droites O, T, p est nécessairement directe; on aura done Peer ZAR AT
== Le SAS COS & cos b cos
et, en éliminant X, YŸ, Z au moyen des équations (4),
(5) cosa — p'rlsde COS — py', cosy —pz”, 1." 1
(6) a CES ee DE p
135. Supposons maintenant que la courbe soit tracée sur une surface ayant pour équation différentielle
dz == pdx + qdy.
Si un plan roulait le long de la courbe de manière à être toujours tangent à la surface, ses intersections successives engendreraient une certaine surface développable Z ; nous allons chercher ce que devient cette courbe lorsque la surface Z est développée sur un plan.
Considérons deux plans tangents menés à la surface donnée, en deux points P, P’de a courbe infiniment voisins l’un de l’autre; la normale N,au premier plan fera avec les axes des x, y, z des angles dont les cosinus seront proportionnels à p, q, —1 et auront les mêmes signes que ces quantités, pourvu que la normale N soit menée en dessous du plan, de manière à faire un angle obtus avec l’axe des z; de même p + dp, q + dq,—1 seront proportionnels aux cosinus des angles que la normale N’ au second plan tangent fera avec les axes. L’intersection G de ces deux plans, génératrice de la surface dévelop-
COURBES DANS L'ESPACE. 269 pable, est perpendiculaire à la fois aux deux normales, et si l’on appelle Z, m, n les cosinus qui déterminent sa direction, on aura |
da ot dq — gdp ELU CR iQ BA Hop a ET EP Vdp? + dq° + (pdq — qdp}!,
à la condition que la droite G sera prise dans la direction nécessaire pour que la succession des droites N, N’”, G soit directe. L’angle o compris entre la génératrice G et la tangente T à la courbe sera donc déterminé par l'équation
z'dq — x'dp+ x" (pdq — qdp) Vdp® + dg®+{(pdq — gdp}
(7) cos 9 —
Si l’on donne à l'arc s un accroissement infiniment petit ds, l’angle o recevra un accroissement correspondant do, qu'il importe de déterminer. Pour simplifier le calcul, nous admettrons un moment que le plan xy coïncide avec le plan tangent au point P, et que l’axe des x soit dirigé suivant la tangente à la courbe, de sorte que l’on ait, en
ce point p, pPp—=0,; {—=O, LOL, YÉEAO Eh O à et aussi x/—0, puisqu'en général x'x"+7y'y"+2!z" = 0.
On aura alors simplement
dq COS 9 np = nee Pi) Vdp? + dq* et de même ; d SNc—= —- P Vdp® + dq°
en admettant que T;G, N, se succèdent dans l’ordre des axes des x, Y, z. ss à # 2 2 L ? & LA 0 ; Cela posé, si l’on différentie l'équation (7) et qu’on y substitue après la différentiation les valeurs p—0, 4 = 0, M6 07/0, C0), Qh\tfouvera sans: peine,
en divisant le résultat par — sin,
dd? p — dpd?q
lo —= y" ds - RP (9 TT rene
La différentielle do exprime la différence z — v des angles que deux génératrices G’, G, passant par deux points P, P' de la courbe, infiniment voisins l’un de l’autre, font avec les tangentes T, T'en ces points. Ces génératrices ne sont pas en général parallèles entre elles, et l’on trouve facilement l'angle db qu’elles comprennent, en observant que la normale N est à la fois perpendiculaire à chacune d'elles, et que les droites G, G', N font avec les axes coordonnés des angles dont les cosinus sont respectivement proportionnels à |
dq — dp, pdq— qdp, dg + d?g, —(dp+d'p), pd*'q — qd'p; P q ur En effet, appliquée à ce cas particulier, laformule (3) donnera, quand on aura fait p — 0, q —0, et qu'on supposera directe la succession des droites G, G’, N,
Dans cette mème hypothèse, la différence dd — do est évidemment égale à l’angle de contingence do, compris entre deux tangentes consécutives à la courbe aplanie. Si, au coniraire, la succession des droites G, G’, N était inverse, il faudrait écrire — 44 au lieu de db dans la dernière formule, mais en même temps l’angle de contingence dw deviendrait dÿ + do., Il en-résulie, en remplaçant do et dh par leurs valeurs, qu’on aura dans les deux cas
COURBES DANS L'ESPACE. 271 en prenant le signe supérieur ou inférieur suivant que la succession des droites G, G’, N est directe ou inverse, On aurait obtenu le même résultat én admettant que T, G, N se succèdent dans l’ordre inverse des axes des x, y, z. En appelant 0 l'angle aigu compris entre le rayon de courbure o et la normale N, et r le rayon de courbure de la courbe devenue plane, on en déduit la formule très-simple
I sin 0 (8) L= p
que l’on peut regarder comme l’équation de la courbe rabattue. Cette équation est d’ailleurs indépendante du choix particulier des coordonnées. Traduite en langage ordinaire, elle renférme le théorème suivant assez remarquable : |
Une surface développable étant circonscrite à une surface quelconque de manière à la toucher le long d'une courbe donnée, le rapport entre le rayon de courbure de cette courbe à double courbure et celui de la courbe plane avec laquelle elle coïncide lorsqu'on rabat la surface développable, est, dans tous les points correspondants des deux courbes, égal au sinus de l'angle que le rayon de courbure de'la courbe donnée fait avec la normale commune aux deux surfaces.
Ces principes établis, revenons aux applications du calcul des variations.
Dés eue XIE.
136. Trouver la ligne la plus courte entre deux points sur une surface donnée.
Soit u — o l'équation de la surface donnée, et prenons l’are s pour variable indépendante; les conditions du problème étant
u—=0, x?+y?+z?—=r, f ds = minimum,
la question reviendra à chercher le minimum absolu de l'intégrale
sa il DH (at + y +28 1) + pu ds, S
dans laquelle À et u représentent deux fonctions indéterminées de s.
Conformément aux notations adoptées, on a V=rHA(xt + pt 3? — 1) + pu, + rate d Re dx dy dz Pie NT NO PONT ER TETE
ce qui conduit aux équations indéfinies
du
Fax —2\ x" —2Xx"— 0; du
A Min 7 RO RE du
LÉ AN 4 NE 0e dz
auxquelles il faut joindre
HO; x? + ÿ2 + 7 — 1
A] 24 = SJ « 18 : / ! 44 Les équations (1), muluipliées respectivement par x’, y', z et ajoutées, donnent
DE OL IOUMOTE TC, ce qui les réduit à du AA: du . ? du y AP AE UE cm 9 um — — çy" — "2 CONTRE les me ; L dy } > Le a ;
d’où l’on tire, en éliminant u,
équations différentielles de la courbe cherchée, On ne saurait les intégrer sans spécialiser d’abord la fonction u, ou la nature de la surface donnée, mais elles expriment, même sous cette forme générale, une propriété remarquable de la ligne la plus courte. On sait, en effet, que Hu du : di ; Fabre pre sont proportionnelles aux cosinus des angles que la normale à la surface donnée
les dérivées partielles
fait avec les axes des x, y, z, et que x”, y”, z/ sont proportionnels aux cosinus des angles que le rayon de courbure de la ligne cherchée fait avec les mèmes axes. La formule (2) nous apprend donc que ces deux lignes ont la même direction, c’est-à-dire que le rayon de courbure de la ligne la plus courte est partout normal à la surface sur laquelle elle est tracée. On appelle en général lignes géodésiques les lignes qui jouissent de cette propriété.
L’angle compris entre le rayon vecteur et la normale étant nul, il en résulte encore, d’après le théorème du numéro précédent, que si une surface développable touche la surface donnée suivant une ligne géodésique, et qu'on rabatte la première surface, la ligne géodésique deviendra une ligne droite.
137. Pour obtenir l'équation de la courbe sous sa forme habituelle, faisons pour un moment
X — dyd?z — dzd?y, Y = dzd?x — dxd?z Z = dxd?'y — dyd?x,
sans particuliser d’abord la variable indépendante; on
aura
Ydz— Zdy ,+ Zdr=iX dr r Xdy — Ydx 2 = ———< ; De > = —" —.
ds" ds’ ds"
Si l’on appelle p, g, r, s, t les dérivées partielles de z des IV. 18
deux premiers ordres, tirées de léquation uw — 0 de
la surface donnée, p, q, —1 seront proportionnels à du du du s 4 TR —; —) — €t la formule (2) pourra s'écrire dx dy dx Ydi— Haye Zdzxz — X dz X dYÆY dr P Fri q : KNIMENR
Multiplions respectivement par X, Y, Z les numérateurs et les dénominateurs de ces trois fractions, la somme des numérateurs deviendra nulle; celle des dénominateurs devra donc aussi s’évanouir, sans quoi chacune des fractions serait nulle, et l’on aurait constamment
Faux ANT De 5 ee XX —=90, Y =0,;, 7° —0O,
et, par suite (n° 134), b—« , ce qui n’est pas généralement possible, T'en résulte |
pX+qY—Z=—0, ou
p(dyd?z — did'y)+ q(dzd?x — dxd'z)—(dxd'y — dyd?x)=0:
Prenons maintenant x pour variable indépendante, et introduisons les valeurs
dz — pdx + qdy, “ d?z = rdx° + 2sdxdy + tdy? + qd y,
il viendra, après quelques réductions faciles à effectuer,
d'y dy dy dy?\ * MER Po QUE ee (7 a ” (r+ Mens ie ]= 0, . . , 4 à Fa * 78 4 équation différentielle du second ordre, laquelle, jointe à u == 0, déterminera la ligne géodésique.
