Les lignes géodésiques tracées sur un ellipsoïde

ont des propriétés intéressantes dont nous ferons connaître quelques-unes, indiquées d’abord par M. Joachimsthal.

COURBES DANS L'ESPACE. 27 Soient a, b, c les trois demi-axes de l’ellipsoïde, son équa-

tion sera x? y? z?

a? b: ce?

et les équations (2), auxquelles doivent satisfaire les coordonnés de la ligne géodésique, deviendront

TX ; 2 ; — = » he F2 La Æ 52 A Ou tx 42 1z ( 3 x” ES 44 PE (] (4 TZ — (3) a? J b? ce?

t étant une variable auxiliaire.

En appelant P la perpendiculaire abaïssée du centre sur le plan tangent à l’ellipsoïde, et D le demi-diamètre parallèle à la tangente à la ligne géodésique, on a

{ I x? y? 22 tee b* ar (4) | I x'? y'2 2/2 LD + ‘

Cela posé, si l’on différentie deux fois de suite l’équation de l’ellipsoïde, il viendra

substituant les valeurs(3), etayant égard auxéquations (4), on en déduit

= ==\(Y ou = — , D?

pr | D:

Les équations (3) élevées au carré et ajoutées donnent d’ailleurs i : ER t? FTP

donc, en éliminant ft, on trouve

(5) Dr

ce qui fournit déjà un moyen très-simple de calculer le rayon de courbure o de la ligne géodésique. Il en résulte en outre cette proposition :

Les lignes géodésiques qui passent par un méme point de l’ellipsoïde, ont dans ce point leurs rayons de courbure proportionnels aux carrés des demi-diamètres parallèles à leurs tangentes.

Ajoutons qu'on parvient facilement à intégrer une fois l'équation différentielle du second ordre de la ligne géodésique, lorsque cette ligne est tracée sur un ellipsoïde. En effet, si l’on différentie les deux équations (4), il vient d'abord

AU c!

Multipliant la première équation par P?, la seconde par D?, et ajoutant, il vient

LPASLA PH DE:

et, en intégrant PD Æ const. —C" .

C'est l'intégrale cherchée, ou l’équation différentielle du premier ordre de la ligne géodésique. Combinée avec

l'équation (5), p — — elle donne

(6) ps?

et conduit au théorème suivant :

Le long d'une méme ligne géodésique tracée sur un ellipsoïde, la courbure varie proportionnellement au cube de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent à l’ellipsoïde.

Comme la perpendiculaire P dépend uniquement des coordonnées x, y, z du point que l’on considère, et nullement de la direction que la ligne géodésique a en ce point, l'équation (6) donne encore lieu à cet autre théorème :

Un triangle étant formé par des lignes géodésiques sur la surface d’un ellipsoïde, si l’on désigne par p;, p', Pas Pas Pss P,s dans l’ordre où ils se succèdent, les rayons de courbure de ces lignes aux sommets du triangle, les deux produits des rayons alternes ou non contigus seront égaux, c'est-à-dire, on aura

LR TANPIMUR EP Ps PIRE

On sait que deux sections normales d’une surface quelconque ont la même courbure lorsqu'elles font des angles égaux avec l’une ou l’autre des sections principales ou des sections auxquelles appartiennent la plus grande et la plus petite courbure; il résulte donc du théorème que nous venons d’énoncer, que si, dans le triangle formé sur la surface de l’ellipsoïde par troisvlignes géodésiques, deux des angles sont partagés en deux parties égales par des sections principales, il en sera de même du troisième angle.

Sur un ellipsoïde de révolution tous les méridiens sont