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évidemment des lignes géodésiques; désignant par p, le rayon de courbure d’un méridien, on aura donc, en vertu
de la formule (6)
et, par suite,
ainsi, sur les ellipsoïdes de révolution, le rapport entre la courbure de la ligne géodésique et la courbure du méridien reste le même pour tous les points d’une méme ligne géodésique.
Cette propriété avait déjà été signalée par M. Guder-
mann (Journal de Crelle, t. XVII).
139. Revenons maintenant à la question primitive de la ligne la plus courte sur une surface quelconque pour examiner les conditions auxquelles doivent satisfaire les extrémités de la courbe. Désignons par £, n, € les coordonnées de l’une ou de l’autre de ces extrémités, les termes aux limites de la variation de l'intégrale proposée deviendront a,
ÉD
Sa | | (V ee Le Te (0 Pi 24 a R, z') os + P,dE + Q dr —-— ROC
UA
= (1—c)d(s;—5s) re] (a dE + y'On + z'd6).
Ce seront en même temps les seuls termes qui restent de la variation de l'intégrale, quand on aura déterminé +, y, z en fonction de s de manière à vérifier à la fois les équations (1) et les conditions u—0, x'?+7/?+23°=r. Mais alors [a courbe sera une ligne géodésique dont la longueur s, représentée précisément par l'intégrale pro-
COURBES DANS L'ESPACE. 279 posée, sera égale à 5, —s,, en sorte que ss — 5,5. On aura donc pour la variation de la longueur d’une ligne géodésique,
Ss ds —(1—c)ds +e] ("dE + y'On + z'd#), $
et, en tran$posant,
FA (7) | (x dE + y'dn + 3 dË).
si r.
Cette expression disparaît d'elle-mème avec les variations DE, On, J6, chaque fois que les points extrêmes restent fixes. Maïs si ces points sont mobiles, si l’on cherche seulement la ligne la plus courte entre deux courbes données sur une surface, on aura pour chacune des extrémités la condition
Z'IE + y dn + 706 — 0.
Or les variations d£, d'n, dé sont évidemment proportionnelles aux cosinus des angles de la tangente à la courbe limite; cette condition exige donc que la ligne la plus courte rencontre sous un angle droit chacune des courbes limites.
140. La forme (7) sous laquelle nous venons de mettre la variation de la longueur s d’une ligne géodésique conduit à plusieurs conséquences Et, Concevons que la ligne s varie d’une manière quelconque sans changer de nature, c’est-à-dire sans cesser d’être une ligne géodésique; appelons & l'arc décrit par l’une des extréimités, nous aurons
280 CALCUL DES VARIATIONS, et l’équation (7) deviendra
M uEns ® fdx dE dy :duf, dites DNA dd deal
Or, le coefficient de d 5 est le cosinus de l’angle sous lequel se rencontrent la ligne géodésique s et la courbe limite o, chacune d'elles étant prise dans la direction suivant laquelle l’arc s ou & est compté. En désignant par 9 cet angle, on aura donc
