COS

Pour simplifier davantage, désignons par o,, o, les valeurs de o et de s relatives au point initial, et réservons les notations sans indice 9, « pour la seconde extrémité de la courbe; nous aurons définitivement

(8) ds — cos 0 « — cos m0 ou.

Le second terme cos v, 00, serait nul, si le point initial était fixe, ou seulement si la ligne géodésique s était normale à la courbe 0, décrite par ce point, puisque dans le premier cas 00, — 0, dans le second cos® = 0.

Si l’on avait en outre ds = o, c’est-à-dire si la longueur de la ligne s était invariable, l'équation (8) réduite à coso — o exprimerait que la ligne s est aussi normale à la courbe © décrite par la seconde extrémité. Nous pouvons donc énoncer ces deux théorèmes dus à Gauss ( Disquisitiones generales circa superficies curvas) :

Étant tracées sur une surface courbe, à partir d'un méme point initial, une infinité de lignes géodésiques de méme longucur, la courbe joignant leurs extrémités sera normale à chacune d'elles.

LEE. dé

On a donné quelquefois à cette courbe le nom de cercle géodésique.

Une courbe quelconque étant donnée sur une surface, si l’on concoit une infinité de lignes géodésiques de méme longueur partant sous des angles droits des dif-

Jérents points de cette courbe, la ligne joignant leurs

extrémités sera normale à chacune des lignes géodésiques.

141. Pour seconde application de la formule (8), cherchons une courbe telle que le rapport des distances géodésiques 5, s’ de chacun de ses points à deux courbes données soit constant.

La distance géodésique d’un point à une courbe se mesure suivant la ligne géodésique qui passant par le point est normale à la courbe. Soit o l’arc de la courbe cherchée, et désignons par ®, +’ les angles sous lesquels les lignes géodésiques s, 5’ courbe. Puisque chacune des lignes s,s” est supposée

coupent respectivement cette

normale aux courbes données, sur lesquelles se meuvent leurs points de départ, on a cos®, — 0, cosp — 0, et les variations de s, s’ deviennent simplement

ds —cosp da, ds — cosw'0c.

Cela posé, l'hypothèse admise

$ — = "CONSL"—.6 $

donne successivement ds

SR Ce cs

S— es —0, ds —eds —0; On aura donc, en substituant les valeurs de ds, ds’,