COS CA
ce qui exprime la propriété caractéristique de la courbe cherchée.
Dans le cas particulier où la surface est un plan, où l’une des courbes données se réduit à un point et l’autre à une ligne droite, la courbe cherchée est une section conique dont l’excentricité est égale au rapport e, Ainsi dans toute section conique les cosinus des angles que fait la tangente avec les distances du point de contact à l’un des foyers et à la directrice correspondante, sont dans un rapport constant, égal à l’excentricité e ; d’où l’on déduit cette propriété connue relativement à la réfraction :
Les rayons lumineux qui arrivent, parallèlement au grand axe, sur une ellipse dont l'indice de réfraction
, 4 I , . r est égal à —, vont converger au foyer le plus éloigné, e
et les rayons lumineux qui arrivent, parallèlement à l’axe réel, sur une branche d'hyperbole dont l'indice de
r , ls e \ Ua .
réfraction est —, divergent après la réfraction, comme €
s'ils venaient du foyer de l'autre branche. , On trouve quelques autres problèmes analogues sur les lignes géodésiques dans un Mémoire de M. Gilbert
(Bulletin de l Académie royale de Belgique, 1860).
442. Dans la théorie des surfaces courbes on peut aussi tirer parti de l'équation (8), qui exprime une propriété générale des lignes géodésiques. Nous en donnerons un seul exemple, qui comporte également une application importante à l'optique.
Soient À, B deux surfaces données et cherchons une troisième surface X telle, que les normales s, s’ abaïssées d'un point quelconque P de cette surface sur À et B aient entre elles un rapport constant k.
Concevons que le point P se déplace sur la surface X
dr
suivant une courbe quelconque &, on aura toujours ds — cosy, ds — cosy do,
o et o’ désignant, comme ci-dessus, les angles que les prolongements de s et s’ forment avec l’arc 5. De l’hypothèse admise
on déduit d’ailleurs successivement
Ts s—ks —o, ds— kds — 0, mt
ds’ substituant les valeurs de ds, ds’, on aura donc
cos ©
cos v”
Ainsi les deux droites s, s’ forment avec une courbe quelconque o, menée par le point P sur la surface X, des angles ©, ®’ dont les cosinus sont entre eux dans le rapport constant #, d'où l’on conclut facilement que le plan de ces droites est normal à la surface X au point P. Supposons que l'arc o soit pris dans ce même plan, les angles o, wo’ seront les compléments des angles que les droites s, s' foni avec la normale à la surface X; donc Île rapport des sinus de ces derniers angles sera aussi constant et égal à À. Concevons maintenant que la surface X se trouve entre deux milieux de pouvoirs réfringents inégaux et tels que l'indice de réfraction entre ces deux milieux soit À; sis est un rayon incideni, s’ sera le rayon réfracté. On en conclura que si les rayons incidents sont normaux à la surface À, les rayons réfractés seront tous normaux à la surface B. Cette mème propriété apparüendra aux rayons réfléchis, pour lesquels on à £ = —1.
Réciproquement, on pourrait se donner la surface réfringente X avec l’une des surfaces directrices, par exemple celle qui coupe orthogonalement ou à angle droit tous les rayons incidents et que nous avons désignée par A: On trouverait alors la surface B, normale à tous les
Lé , e S rayons réfractés, par la condition + = k, en cherchant S
l'enveloppe de toutes les sphères qui ont leurs centres sur la surface X, et dont les rayons sont proportionnels aux distances de leurs centres à la surface A, le rapport constant entre les rayons et les distances étant celui du sinus de réfraction au sinus d'incidence. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, qui renferme toute la théorie des caustiques, développée successivement par MM. Dupin, Quetelet, Gergonne, et autres :
Deux milieux homogènes étant séparés l’un de l'autre par une surface de nature quelconque, et des rayons de lumière pénétrant de l’un de ces milieux dans l’autre, si les rayons incidents sont dirigés dans l’espace de manière à pouvoir étre traversés orthogonalement parune méme surface, il en sera de méme des rayons réfractés, el réciproquement : en outre, à chaque trajectoire orthogonale des rayons incidents répond toujours une surface trajectoire orthogonale des rayons réfractés, telle que les normales abaissées sur ces deux surfaces d'un point quelconque de la surface séparatrice des deux milieux seront respectivement entre elles dans le rapport con- Stant du sinus d'incidence au sinus de réfraction.
ProBiemMe XIII.
443. Parmi toutes les lignes de méine courbure constante qu'on peut mener entre deux points, quelle est la plus courte?
Prenons l’are s pour variable indépendante, les condi-
üons du problème seront domi RE + dv,
er + y Ha = = consL., | P
et la question reviendra à chercher le minimum absolu de l’intégrale
Sa il Lt (ay a 1) S
Pa p étant constant et À, x désignant deux fonctions indéterminées de s.
On a
+ufaneym ta 2)la,
! I V— : + ) (ais ae “D 2E- z'? re: 1) AE u (a+ ya — 2) , p
PMR ren LA té
Q—=0, Q—2ir, Q—2r7", NO MR NAS RTS af) et les équations générales de la courbe deviennent
dP d d'R — a; NENRErS EE — €
[| —— Le ds 3
ou 2)1z'—oux"—2ux"— a,
217 — ou'y" —2uy" = 0,
MRC
217 — 2pu2
EU e PE = C, ‘a, b, c étant des constantes arbitraires. À ces équations, il faut Joindre les conditions primitives x LL y+ ti, p —= const, L'élimination de À entre les deux dernières équations (1) donne
(UT: Pr, LR | /
bz'— cy = ap (72 — 37") +ap(y'e" =z y),
et, en intégrant, A+ bz— cy = 2u(y"z" — z'y").
On trouve de même, en éliminant À, soit entre la première et la troisième, soit entre les deux premières des équations (1),
BE or —az—oulzz #6)
C+ ay — bx—=aplx y" — 7x"),
À, B, € étant de nouvelles constantes arbitraires. Enfin, si l’on multiplie par x’, y’, z', ou seulement par dx, dy, dz, les trois dernières équations, et qu’on les ajoute, w disparaît et il vient |
(2) (A + dbz — cy)dx +([B + cx—az)dy + (C+ ay — bx)dz= 0,
équation différentielle qui, jointe à p —const., détermine la courbe cherchée.
144. Ici se présente d'elle-même [a question de savoir s’il exisie une relation primitive entre x, y, z qui satisfasse généralement à l’équation différentielle (2), ou, en d’autres termes, si cette équation peut représenter une surface. Dans ce cas, la ligne cherchée serait une ligne de courbure constante tracée sur cette surface. Or, il est facile de s'assurer que l’équation (2) est intégrable sous la seule condition qu’on ait
(3) aAÂ + bA + cC—o,
et quelle conduit alors à l’équation d’un plan. En effet, si l’on regarde d’abord z comme constante, cette équation, devenue
dx dy
B —+- cr — az ge A hs 0m
donne, par l'intégration,
B + cr — az
DÉPOT UE TRANS À + bz— cy ARE
@(z) étant une fonction arbitraire de z. Pour déterminer cette fonction, différentions de nouveau en faisant varier toutes les variables x, y, z; le résultat, comparéà (2), fournit la condition
Aa+Bb+Cc+(A + bz— cy}#/(z) — 0,
laquelle devant être identiquement vérifiée pour que l’équation (2) soit intégrable, se partage en deux autres
Aa+Bb+Cc—o, (2) —o.
Il en résulte p(2) = const. — 7», et, par conséquent, B+cx— az = m(A+ bz—cy),
équation d’un plan, comme nous l’avions annoncé, Lorsque les données:du problème seront telles que la condition (3) soit remplie, on en conclura que la ligne cherchée est une courbe plane de courbure constante, c'est-à-dire un arc de cercle: oué
145. Pour facilitér la recherche des équations aux limites, désignons par £, n, €, &!, n, €’ les valeurs de L, Vs Z, À, Y', 2! correspondantes à l’une ou à l'autre des extrémités de la courbe; les termes aux limites de la variation de l'intégrale S deviendront |
s& ÿ ? 3 / A Là 2 p S Fe aber er S : Ë 1 ,
$ a | adE + bôn + cdc ar 2u(x"0E + y" On + 2" 0!) L.
