ER
Nous savons déjà {n° 132) que le coefficient de ds doit se réduire à une constante; c'est ce qui résulte d’ailleurs des équations (1), car en les multipliant respectivement par x”, y”, z/ et observant que
LB y gl ae Nc ONsti
P x" x"! Ne y" y" an 2! 2!" — o,
on irouve
St Le R — ax" + by" is cz/,
p° et, en intégrant, ax" + by + cz + = A
k étant une constante arbitraire. Le terme en ds se réduit donc à (1— k)9 (5: —5,) ou à (1 —k)9S, puisque la différence s,— 5, est égale à l’arc représenté précisément par l'intégrale S qu’il s’agit de rendre minimum. D’ailleurs, lorsqu'on aura déterminé x, y, zen fonctions de s de manière à vérifier les équations indéfinies (1), la variation 9S se composera uniquement des termes aux limites que nous venons d'écrire. On aura donc, en trans-
posant,
S; 1s=| LadE-+bôn+edt+op(x" 08 + y" one") À.
Si Lorsque les directions des deux tangentes extrêmes à la courbe ne sont pas donnéés, en sorte que les valeurs limites de x’, y’, z' sont assujetties à la seule condition x? + y?+z'?—=1, dont on a déjà tenu compte au moyen du facteur indéterminé À, il est permis de regarder les variations d£’, d»/, d6' comme arbitraires et indépendantes les unes des autres, et d’égaler à zéro le
LS
COURBES DANS L'ESPACE. 289 coeflicient de chacune d’elles, ce qui donne pour chacune des limites
, PT —= O, DA O, D ANÉEMCE
Or x”, y”, 2” me peuvent pas être nuls à la fois, parce
L LI L] Ï * qu'on aurait alors aux deux limites - — o, valeur en gép à
néral inadmissible à cause de la courbure constante imposée à priori à la courbe entière, On est donc forcé d’admettre p = o pour chacune des limites. Par conséquent, si l’on appelle x;, ÿ1, z1, Xo, Ye, Z2 les coordonnées des deux points extrêmes, qui d’ailleurs peuvent être fixes où variables, on aura
DR RE À + bz, — cy; — 0,
(4) | B + cr, — az, — 0, BE cr, — az — 0,
C+ay; —bx,—= 0, CG + ay: — br; = 0.
Multipliant respectivement par a, b, c les trois équations soit du premier, soit du second système, il vient
cÿ | NO" 0 + CC 0.
Nous avons déjà fait remarquer que c’est la condition d'intégrabilité de l'équation (2), qui conduit alors à une relation linéaire entre x, y, z. Il en résulte que la ligne cherchée est plane; cette ligne, qui a d’ailleurs une courbure constante, est donc un arc de cercle.
Les équations (4) donnent en outre
cé qui exprime que la corde, ou la droite qui Joint les extrémités de la courbe, fait avec les axes des x, y, z des angles dont les cosinus sont respectivement proportionnels à a, b, c.
