IV

146. Supposons maintenant que l’on cherche la ligne de courbure constante la plus courte entre deux surfaces données. Les directions des tangentes extrêmes, ou les valeurs limites de x’, y’, z! n'étant pas fixes, il résulte d’abord. de la discussion qui précède que la courbe est

un arc de cercle, Pour déterminer de plus près sa posi-

tion, considérons une des surfaces limites représentée par l'équation

FE, LE t) Fi0$

d’où l’on tire, en prenant la variation,

df df df De APT AD RP PRE

Les termes aux limites fournissent d’ailleurs la condition adë + bôn +cdË — 0.

L'une de ces équations devant avoir lieu pour toutes les valeurs de dE, d'n, d€, qui satisfont à l’autre, il faut que les coefficients soient proportionnels entre eux, ou que

af df\. [af a) (@) CR)

té ——

l’on ait

Or, dans ces trois fractions les numérateurs sont propor-

cosinus des angles que fait avec les mêmes axes la droite menée entre les extrémités de la courbe. Cétte droite, ou la corde de l’arc de cercle, devra donc être normale à chacune des surfaces limites, de sorte qu’ellese confondra "avec la plus courte distance entre ces surfaces. |

tionnels aux cosinus des angles que la normale à la surface" fait avec les axes des x, y, z, et les dénominateurs aux

Ne

LT COURBES Mise L'ESPACE. 291 CT 0

Re: si de point limite (£, n, €) devait se trouver sur une MW: - courbe donnée, les variations dE, dn, dé seraient néces- sairement proportionnelles aux cosinus des angles que la D 77 tangente à cette courbe Fat avec > les axes s des X, Y, Z, et à __ léquation | | 50 NE" LA eee Re st NA" prouverait Élore que la corde doit être normale à la courbe . 100 limite. « 4 ; d % 1 ’ d ne À é d'ores À + ÿ æ a ls L2 E°" «

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