RES
et l’on én conclut : 1° que l’angle w est ©=>90°, en sorte q | ;
que le rayon de courbure p est directement opposé à la
projection de la résultante sur le plan normal à la courbe ;
COURBES DANS L'ESPACE. 307 2° que la pression totale exercée par le mobile sur sa trajectoire est double de celle qui aurait lieu si la vitesse était nulle.
154. Considérons maintenant le cas plus particulier où le mobile est sollicité par une seule force centrale. En prenant le centre de la force pour origine des coordonnées, On a
do x en —— ='R — (Er > r ?
(l RS REY en RL dy r do Z p— = Z=R—- AE r |
r étant le rayon vecteur ou la distance du mobile au centre; et les équations (3) deviennent
Rz
2 plyl Lyx" = 0, or
RYy |
— — 97" +eyf= 0, or
Rz
— — vz! + yz" =o.
or
En éliminant R entreles deux dernières, on trouve —#' (y — 27) + v(yz" — 27) = 0; on obtiendra des résultats analogues, en éliminant KR entre la première. et la troisième ou entre les deux premières équations, et l’on aura ensuite, en intégrant, 4 | pee $
YZ' — 27 —= AL) .s
zx — xz = bv,
xy— x = ©,
a, b, c étant des constantes arbitraires. Ces trois équa-
tions multipliées respectivement par x, y, z donnent ax + by + cz2—0,
équation d’un plan passant par le centre. Il en résulte que la ligne de plus vite descente est une courbe plane; elle est d’ailleurs caractérisée par l'équation (4).
Lorsque le point mobile est sollicité uniquement par la pesanteur, on a
R=%g, v'—2g(2—h); l'équation (4), devenue p—=—2 (z Fr ) sec,
exprime alors que le rayon de courbure est le double de la normale prolongée jusqu’à la rencontre du plan z2=4, propriété bien connue de la cycloïde.
PROBLÈME XVIIT.
159. Trouver la courbe de plus vite descente dans un milieu résistant homogène.
Nous admettons Comme évident que la courbe doit être comprise dans un plan vertical, et nous désignons les coordonnées d’un point quelconque de la courbe par x, y, en faisant coïncider l'axe des y avec la direction de la pesanteur ; nous prenons d’ailleurs, comme auparavant, l’arc s pour variable indépendante. Cela posé, soit » la vitesse, g l’accélération dans la chute libre, o(v) la résistance, qui doit être une certaine fonction de la vitesse ; l'équation du mouvement sera
MAP PTS TT dé 7 de dt,
Er, !
Eur 1 T2
gr' lo)
S ds et le temps aura pour expression | —: En regardant x,
COURBES DANS L ESPACE. 309 0 Le LE LI ° , L; Y, Comme trois fonctions de s qu’il s’agit de déterminer, on aura donc entre ces fonctions les deux relations
2H y=i, w+o(r) — gr =o, et le problème reviendra à chercher le minimum absolu de l'intégrale 2 I l F'iiurene + at ot) gr} a Si dans les formules générales du n° 131 on remplace z par #, on aura
e I Vi HA (a+ pr) plu Hole) — gr] = =)
nyl 6 [4 P — - R —— = + po + po (v} — 0; Q=0, PR OMR AO Pix, Q=21FY —pg, Rio, et la règle de minimum conduira aux équations
(x) — gu+aVy +92)y"=o,
—;— pie + CRAN À
Mulupliant les deux premières par x’, y’et substituant à gy' sa valeur + o(v), il vient
La troisième équation mulupliée par # se transforme en
310 CALCUL DES VARTATIONS.
retranchant celle-ci de la précédente, on trouve
ms R emmeme mne
et, en intégrant,
2X—py(r)—-—=é.
La considération des termes aux limites de la variation de l'intégrale proposée fera voir que la constante k est nécessairement nulle, en sorte que cette équation devient simplement |
(2) 2h — py(v)—=—0.
On trouve d’ailleurs, en intégrant les deux premières équations (1),
PAT 4, (3) | —sb+2 1Y = b ; a, b étant deux constantes arbitraires. Ajoutant les deux relations primitives
| + o(e)— gy = 0,
4 LA CET Ye mL,
nous aurons einq équations (2), (3), (4) entre lesquelles
nous pourrons éliminer les quatre inconnues À, u, x’, y’. Ce calcul effectué donne
ON (On are) à = AO ROE
COURBES DANS L'ESPACE. "31 équation qui déterminera # en fonction de s, aussitôt que la forme de la fonction ® (#) ou la loi de la résistance sera connue. Reportant la valeur de # ainsi obtenue dans l’équation
w + g(e)= 8 = 0; on en déduira ensuite une équation entre y et s qui sera l'équation de la courbe cherchée.
156. Lorsque la résistance p(#) est nulle, les deux dernières formules se réduisent à
se ! Hs) dv", , Di £Ye 0),
dont la seconde s'intègre immédiatement et donne
Substituant dans la premièré équation la valeur de v' fournie par la seconde, on trouve d’ailleurs
ap = 1i—7y"?,;
enfin, quand on élimine #° entre cette équation et la précédente, il vient
d JET SRE Via g(y—c),
d’où l’on tre successivement
résultat dans lequel il est facile de reconnaître l'équation différentielle de la cycloïde.
