Cherchons maintenant quelles sont, dans le cas
général, les équations aux limites auxquelles doivent satisfaire les extrémités de la courbe. En désignant par £, n, Y les valeurs de x, y, v correspondantes à l’une ou à l'autre des extrémités, on verra les termes aux limites de la variation de l'intégrale se réduire à ge
Es Le
S, (adE + bdn + pe 90 v Jan,
La
— kO(Ss3 — 5) +]
an
La variation de l’arc-s, — s, étant arbitraire, ces termes égalés à zéro fournissent d’abord la condition À — o, déjà adnuse par anticipation.
Ayant tenu compte, au moyen du facteur u, de la relation qui existe en un point quelconque entre la vitesse s et les coordonnées x, y, nous sommes dès à présent autorisé à regarder la variation dv comme arbitraire et indépendante des variations dE, On. Donc, si l’on suppose que la vitesse soit donnée au point de départ A, mais qu'elle ne le soit pas au point d'arrivée B, on devra rendre nul le coefficient uw de dv à la seconde limite; dès lors les équations (3), donnant pour cetie même limite
montrent qu'au point B Îa tangenie à la brachistochrone fait avec les axes des coordonnées, des angles dont les . cosinus sont dans le rapport de a à b.
Lorsque les points extrêmes A, B ne sont pas fixes, mais seulement assujettis à rester sur deux courbes données, l’équation
adëé + bôn—0,
qui doit subsister aux deux limites, montre que la tangente à chacune des courbes limites aux points À, B est
18 a" # 3 13 normale à la direction déterminée par des cosinus proportionnels à a, b.
On en conclura sans peine que si l’on cherche entre deux courbes données la ligne de plus vite descente dans un milieu homogène, résistant suivant une loi quelconque, ces deux courbes doîvent avoir leurs tangentes paral-
lèles aux points de départ et d'arrivée du mobile, et que P P > Et q
le mobile doit rencontrer la seconde courbe sous'ün angle droit, quelle que soit d’ailleurs sa vitesse initiale.
Ce résultat est identique avec celuñque nous avions déjà trouvé pour la brachistochrone dans le vide (Probl. VII).
Pro8rÈmMEe XIX.
1458. Trouver la position que doit prendre un fi
flexible et inextensible sur une surface donnée, pour
que son centre de gravité soit le plus bas possible. — On sait que dans cette position le fil sera en équilibre. Supposons que l’axe des z coïncide avec la direction
de la pesanteur, l’ordonnée verticale du centre de gravité du fil sera
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J'as.
C’est l'expression qu'il faut rendre maximum sous la condition que fds ou la longueur du fil reste constante, et que les coordonnées x, y, z satisfassent d’ailleurs à l'équation de la surface donnée, w=— 0, ainsi qu’à la relation x° + y? + 3° — 1. Le problème revient donc à chercher le maximum absolu de l'intégrale
Sa | Is HA (a+ y 21) un ds, ä L ; la différence s, — s, des limites, ou la longueur de la courbe, étant constante, et À, uw désignant deux fonctions indéterminées de 5.
Pi ex ES et enes du du, 5518 du
Fi a = — À == —
Fax’ DE dy? Mer sub dz .
Pi et Or 2h MS RES RNrE |
et les équations indéfinies deviennent
/ d pa a — 2 \ RS 0} d (1) pe —2Ny —2y"=0, du Su #4
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Mulüpliées par x’, y’, z', elles donnent 2 19 Jh = OWNER 7 —"c.
Soient /, m, n les cosinus des angles de la droiteL qui tangente à la fois à la surface et normale à la courbe ferait un angle aigu avec le rayon de courbure p; si l’on multiplie respectivement par /, m, n les mêmes équations (1),
il vient n— 2) (lx" + my" + nz") = 6,
ou bien
Éd
PSE sin 6,
@ étant l'angle aigu compris entre le rayon de courbure p du fil et la normale à la surface. Pour interpréter cette for-
