TREIZIÈME LEÇON
Applications à des intégrales doubles, — Maximum ou minimum de l'intégrale ff (3— px — gy)"dydx. — Maximum ou minimum de S'SVP <q dy dr. — Maximum ou minimum de f f (z —px— qr)dyrdx,
l'intégrale ff Vp°+ q° dydx étant constante. — Surface à aire minimum .: — Surface dont le centre de gravité est le plus bas possible. — Surface renfermant un volume donné et dont le centre de gravité est le plus bas possible. — Surface à aire minimum recouvrant un volume donné.
160. Dans cette nouvelle leçon nous avons à donner quelques exemples de la recherche des maxima et minima des intégrales doubles. Les règles et formules générales relatives à ce cas ayant été exposées avec détail dans la VII: leçon, nous n’avons pas à y revenir, d'autant plus que nous conserverons avec soin Îles notations adoptées.
ProBLEeME . XX.
Trouver une surface telle, que l'intégrale
La Ye à: il v" dy dx X, BE
soit maximum où minimum, v étant la portion de l'axe des z comprise entre l’origine et le plan tangent à la surface au point X, y, Z.
On a
DE DT 0 ÿe Vis (z ee DA ue
Nm, OP mn a 4 QE
APPLICATIONS À DES INTÉGRALES DOUBLES. 317 dP dQ
l'équation indéfinie N — —— — —< — o devient par condx dy séquent (a RS) à m —1 dx dy i AOL CC >
7e 7e. étant les dérivées partielles de v considéré comme x NE k
fonction immédiate de x, y. Cette équation est satisfaite, 1° si l’on fait v — o, valeur qui rendrait l’intégrale nulle et donnerait pour solution une surface conique ayant son centre à l’origine des coordonnées; 2° si l’on fait
nous ne nous OCCuperons que de cette seconde solution. L’équation (1) aux dérivées partielles du premier ordre par rapport à s s'intègre facilement par la méthode ordinaire et donne UE Du LIT TRMR £) EE
Ro CNRC (2) = px + 47;
ou
F étant une fonction arbitraire. C’est encore une équation aux dérivées partielles du premier ordre relativement à z; en l’intégrant, et faisant, pour abréger,
4 (2) Su SPL ) \æ nm + 2 x).
on aura
TA 4 Ur sut Tr.
Telle est l'intégrale générale de l'équation (1). Elle représente une infinité de surfaces distinctes, suivant les formes assignées aux fonctions arbitraires o et Ÿ.
161. Lorsque les limites de l’intégrale sont fixes, ainsi que les valeurs correspondantes de z, ou lorsque la surface doit être circonscrite par un contour donné, la règle de maximum ne fournit point d'équations aux limites, et les fonctions arbitraires seront déterminées par la condition même que la surface passe par ce contour. Mais si l’on donne seulement les valeurs limites de x, y, ou la projection du contour sur le plan æy, sans les valeurs correspondantes de z, la condition de maximum ou de minimum exige qu'en chaque point du contour on ait
Q dr — Pdy — 0 où
(3) oi ( y dx — xdy) = 0.
Le facteur ydx — xdy ne peut être nul que lorsque la projection du contour est une droïte passant par l’origine des coordonnées; pour toute portion du contour qui ne remplit pas cette condition, on aura donc # — o, et par
“re
ajoutons que sur cette partie du coniour le rapport =
suite
varie nécessairement d’un point à l’autre, et nous en conclurons que la fonction Ÿ est nulle en général ou pour chaque point de la surface. L'équation (2) réduite à
représente alors une surface conique ayant son sommet
à l’origine des coo rdonnées. La valeur de » qu’on en déduit étant constamment nulle, celle de l'intégrale est aussi nulle, et l’on comprend sans démonstration que c'est un vrai minimum, du moins lorsque l’exposant m est un nombre pair et positif.
162. Considérons maïntenant le cas où le contour n’est pas donné, maïs seulement assujetti à rester sur deux ou plusieurs surfaces données; soient p’, q' les dérivées partielles de z relatives à l’une de ces surfaces, on aura pour la portion du contour quelle doit renfermer
VE (pip) O9" 9)—%, ou
mn lotmz(p—pl)+my(g —q)i=o, équation qui sera satisfaite, soit par
fre" 0, soit par B— PAG M et Int
æ / ! TRES DD. Dose) LRU mm — 1
La première solution v — 0 ramène la surface conique du cas précédent; la seconde exprime que si l’on mène des plans tangents à la surface cherchée et à la surface terminale par un point quelconque de leur ligne d’intersection, les portions de l’axe des z comprises entre l’origine et ces deux plans seront entre elles dans le rapport
constant
MN — 1 163. Dans ce qui précède, nous avons admis implicitement que l’exposant m était plus grand que l'unité, Au lieu de nous arrêter à discuter le cas de m—1 oum< x, considérons le problème plus général où l’on cherche le
maximum ou le minimum de l'intégrale
sk ve > DL 1h jL F(v) .dydx, FA Ti ’
tr Pr QT
dans laquelle
Nous avons Vif), Neo), P——xf'{v), Q——Yyf'(v).
L'équation indéfinie
PE mer = A
GT (D d.f!(v por à, #70
équation aux dérivées partielles du premier ordre, lors-
qu’on y regarde f'(#) comme fonction immédiate de x, Y, s'intègre sans peine par la méthode ordinaire et donne
eflo=r(t),
F étant une fonction arbitraire.
Soit, par exemple,
F(v) Job, dis ë on aura 4 PL 1 2 Meet Er) V'== TP (2) qe :—# (2) px +qYy
En intégrant de nouveau, il vient
j à [ Ly 4
et Y étant deux foncüuons arbitraires.
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