Trouver la surface pour laquelle l'intégrale

La 3 [ A Vp° + g°.dydx ee L 5

soit un maximum où Un Minimum, p et q étant les dérivées partielles de l’ordonnée z de la surface.

On a

V= Yp?+ 9°, 70, PERRET — q :

V2? + q° VP* + q° l'équation indéfinie est gr — 2pqs HDi 0,

d’où l’on tire, en intégrant, (1) " r=zg(z)+Y(z),

o et Y étant deux fonctions arbitraires.

Lorsque les limites de l'intégrale sont déterminées, ou quand on connait les deux paroïs cylindriques y = 71, Y=Y, et les deux plans x = x,, x — x, qui doivent circonscrire la surface cherchée, sans que $on contour dans l’espace soit donné, on doit avoir en chaque point du contour

Qdx — Pdy = 0, ou qgdx— pdy — 0,

équation qui exprime que la surface cherchée doit rencontrer sous un angle droit les deux paroïs cylindriques, ainsi que les deux plans limites. Dans le cas plus général où le contour est assujetti à rester sur des surfaces données quelconques, si l’on appelle p', q/ les dérivées partielles de z relatives à chacune de ces surfaces, on devra avoir en chaque point de la portion du contour qu’elle contient

V+P(p —p) +Q(g'—4)=—0, IV. g À