Trouver la surface pour laquelle l'intégrale

Xl, Ta d j (z— px — qy)dydx Æ, y

soit un Maximum OU un minimum, en méme lemps que

2 Ya i 1 Vp° + q°.dydx x 13,4

l'intégrale

conserve une Valeur donnée.

Ce problème se ramène à la recherche du maximum ou minimum absolu de l'intégrale

Ta [Y'a 1 il (a — px — qy+n pt +) dydr,

(Ra

dans laquelle 7 est une quantité constante, mais in-

connue.

On a V=2— px — qy + np? + 4°, .

N — 1, Pa xt OISE y due VP'+ YPIA

et l’'équati on indéfinie mt

2 vs 3 2 2 \:

gr — 2pqs + pi = (p + q!),

intégrée par la méthode de Monge, donne

ni CASE UE)

pet Y étant deux fonctions arbitraires. La surface représentée par celte équation est évidemment une surface an-

L] Fr 7è e nulaire ou tore engendré par un cercle de rayon 3 qui

se meut dans l’espace suivant une loi quelconque, en restant toujours parallèle au plan xy. Si lon nomme £,n, 6, les coordonnées variables de son centre, on aura

Er pie) ne — Y(z), É—z,

et ces équations, lorsqu'on aura déterminé les deux fonctions arbitraires, représenteront la courbe directrice que le centre décrira dans son mouvement. Les valeurs des dérivées partielles du premier ordre p et g seront d’ail-

leurs PS x +o(z) PT Lr+00)])e @) Er 40) La y + Ÿ(z) | 1 La o(2)}e (2) Er +4) G)

166. Parmi les diverses hypothèses qu'on peut faire relativement aux limites, nous n’examinerons que celle où la surface (1) doit se terminer dans deux ou plusieurs surfaces données. Soient p', q’ les dérivées de z relatives à chacune de ces surfaces terminales, la portion du contour qu’elle doit contenir sera caractérisée par l’équation

V+P(p—p)+Q(g —gq)=o, ou bien par

62) z2—px—qY + BAPE 44 ) 0 VP° + q° 21 L]

Supposons, par exemple, que l’une des surfaces limites soit un plan ayant pour équation

Zz—= ax + by, on aura ARR AE PET, b,

et l'équation (2) se réduit à ap + bq = 0.

Remplaçant p et q par les valeurs trouvées ci-dessus, il vient (3) z+ap(z) + bY(s) = 0; et, en éliminant o (2), ÿ (z) à l’aide des équations E——o(c), n——%({z), Éz,

qui donnent les coordonnées du centre du cercle générateur, É=aË +0.

Sous cette forme on voit que le centre du cercle générateur doit se trouver constamment dans le plan limite. Si la surface cherchée devait se terminer de l’autre côté sur un second plan dont l’équation füt

z=a'x+bly, on trouverait également pour l'intersection correspondante (4) 2 ap (2) + b'Y(z) = 0 et = a'E + bn ,

d’où l’on conclut que le centre du cercle générateur doit se trouver aussi dans ce second plan, en sorte qu’il se mouvyra le long de l'intersection des deux plans limites ;

la surface cherchée sera donc un cylindre oblique à base circulaire, ayant pour axe l’intersection des deux plans. Les fonctions arbitraires ® et Ÿ seront dans ce cas déterminées par les deux équations (3) et (4), qui donnent ’ U Ent VOS guet et la fonction z est alors parfaitement connue, sauf la constante 7, dont on disposera pour faire prendre à l’intégrale ff Vp° + g°. dy dx la valeur constante qu'elle doit garder. Il serait impossible d’assujettir la fonction z à aucune nouvelle condition relative aux limites de x ; si donc les autres conditions, qu’on peut se donner relativement aux limites, ne sont pas satisfaites d’elles-mêmes, le problème deviendra impossible, et il n’y aura ni maximum ni minimum.

-Progcème XXII.

167. Trouver la surface dont l'aire entre des limites données soit la plus petite possible.

La différentielle de Paire étant V1 + p° + q° dy dx, l'intégrale qu’il faut rendre minimum sera

Es) LT:

[ J V1 + p° + q°.dy dx.

e À Je

On a = Vi pi+ dé N==0; RE a 5 dira à QE : 1 te

L'équation indéfinie du problème et qui doit déterminer la forme générale de la surface cherchée, sera donc

d P pe q ED) + &Vi+p+g WVi+p+a

ou

(2) (1H g)r— 2pqs +(\+p')t= 0;

or elle exprime la propriété bien connue, qu'en chague point de la surface minimum la somme des deux courbures principales est nulle, ou, en d’autres termes, que les deux rayons de courbure principaux sont égaux et dirigés en sens contraire.

Lorsque le contour de la surface dans l’espace sera donné, les fonctions arbitraires amenées par lintégration de l’équation (:) seront déterminées par cette seule condition, et il n’y aura plus d'équations aux limites. Mais si l’on assigne seulement les valeurs limites de x et de y, sans assigner les valeurs correspondantes de z, ou si l’on ne donne du contour que sa projection sur le plan xy, on devra avoir le long de cette projection

Qdx—Pdy—o où qdrx—pdy —0o,

el cette équation exprime que la surface minimum rencontre sous un angle droit la surface ou les surfaces cylindriques qui projettent le contour sur le plan xy. Le plan qui a pour équation z — c, satisfait à la fois évidemment et à cette condition et à l’équation générale (2). Il est donc la solution la plus simple du problème dans le cas dont il s’agit; mais le difficile serait de démontrer qu’il est la seule solution possible.

Supposons maintenant que la surface minimum, au lieu d’être limitée par certaines courbes ou par certaines parois cylindriques, soit assujettie à se terminer dans deux ou plusieurs surfaces données mais quelconques ; on aura alors en chaque point du contour entier

NÉ P(p = p) + Q(g —4)=06, où 1-Fpp +.9q —0:

équation qui prouve que Îa surface minimum rencontrera sous un angle droit chacune des surfaces limites.