L'intégrale générale de l'équation (1), qui repré
sente toutes les surfaces minima, a éié obtenue, pour la première fois, par Monge, mais sous une forme toute compliquée d’imaginaires qui la rendait peu propre aux applications. Legendre, et plus tard MM. Serret et Catalan, se sont occupés à leur tour de cette même intégrale, soit pour vérifier le résultat de Monge, soit pour le simplifier. Enfin, M. Ossian Bonnet, en développant les principes sur lesquels Gauss fonda ses belles recherches relatives à la théorie des surfaces, a montré que ces mêmes principes conduisent facilement à une forme simple de l'intégrale dont il s’agit. Nous indiquerons en peu de mots la marche suivie par M. Bonnet, dans son excellent Mémoire sur l’emploi d’un nouveau système de variables (Journal de Liouville, 1. V, 1860), pour obtenir sous forme finie l'équation de la surface minima.
Soient &, Bi, y les angles de la normale à la surface avec les axes des coordonnées, £.l’angle avec le plan xz du plan mené par la normale parallèlement à l'axe des z,
ei posons n — ltang 2 en sortie que tang À ess Éétn
sont les nouvelles coordonnées ou variables indépendantes qu’il s’agit de substituer à x, y. En désignant par:
9 C2] - e e l’unité imaginaire Ÿ— 1, on aura
Sin Ne PAT L cosy —= (tangin, 3 F COS Ë COS & == SIN y COS = ——— 5 cos in À sin Ë cos B — sin sin Ë — — ) CoOStn
et l'équation aux dérivées partielles (1) prendra la forme
où
NUE dE dn An LR tURRS. LE AA 1 o à SE — | =0O.
( ) al RS OR (cose msn) O
dé dé dn dn Ha ne. 7 Re. Hd cherchons d’abord les relations générales entre £, n et æ, y. Soient x, y, z les coordonnées d’un point quelconque du plan tangent et D la distance de l’origine à ce plan, nous aurons
Pour déterminer les dérivées partielles
X COS + y COS 6 + z cosy — D,
ou, en substituant Îles valeurs des cosinus de &, 6, y, et multipliant par cos in,
(4) X COS Ë + y sin Ë + zisin in — Dcosin.
Cette équation, dans laquelle on peut considérer le second membre comme une fonction de £, n, définit tous les plans tangents à la surface. Pour en déduire les coordonnées x, y, z d'un point quelconque de cette surface, nous ferons remarquer que ce point peut être regardé comme l'intersection de trois plans tangents infiniment voisins, et nous en conclurons que x, y, z, substitués respectivement à x, y, z, doivent vérifier l'équation (4) et cette équation différentiée soit par rapport à £, soit par rapport à », en laissant x, °y, z constants. Donc, en fai-
sant, pour abréger, € — — D cosin, on'a x COSË + YSsinE +zisinin = —Ù, Poe (5) Æ SIN Ë —# COS HAOTE dé Z COSIn — °
Telles sont les équations qui déterminent les coordonnées x, y, z, lorsque £, x, £ sont connus. Si on les différentie en faisant varier à la fois x, y, z, £, n, &, etqu'on
APPLICATIONS À DES INTÉGRALES DOUBLES. 329 fasse, pour abréger, d?&
ER MC Bb = + SRE Je?
is E. VRP | dé ge [
ie VE a MR DER ss
on trouve, après quelques réductions faciles,
dx COS Ë + dy smËé — — à tang én (vdE + wdn), (7) dx sin Ë — dy cosË — udËé + vdn, | dz cosin —= PdË + wdn.
En faisant tour à tour dy—o, dx — 0, on déduit de dé
r e : ENS @ » e d ces équations les valeurs des dérivées partielles ass —) dx dy dn
dn QE RE À i à —, —, et ces valeurs substituées dans l’équation (3) Jui TE HR: à à
font prendre la forme très -simple | (8) R u+w—=o.
Or, si l’on regarde £, n, à leur tour, comme des variables indépendantes, la troisième des équations (7) donne
Z C2 = =— COSIN dE :
dz !
W= — COS in; dn À
on trouve d’ailleurs par les équations (6)
Re ne ne de nat) ut 17 ng in tiang in de LE
MISE Re nu tang ên d2z dz
a PA cos in asian in
on aura donc, en différentiant par rapport à n l'équation u+w=—= oO,
HS SUN ANT
de dm ©
équation bien connue, dont l'intégrale générale est (9) z = q(éHin) + (6 — in),
et Ÿ étant des fonctions réelles ou imaginaires. Toutefois il faut observer que cette intégrale est plus générale que l'équation proposée (r) ou (8), et qu’en déduisant de z la valeur de € au moyen de la relation
&=— fzcosindn,
on devra déterminer la fonction arbitraire de £, introduite par l'intégration, de manière à satisfaire à la condition u + w = 0.
Supposons, par exemple,
(En) = Ha i) (En), VE —én) = (a+ id) (Ein), a, b étant des constantes réelles et positives, nous aurons successivement
z —=aË + bn, &— fz cosindn = f(aË+ bn)cosindn — — (a Ë + bn)isin in — b cosin + X, X étant une foncüon arbitraire de £ dont X/°et X/ seront : les dérivées par rapport à £ du premier et du second ordre; u——bcosin+<X’+X, æ—= bcosin, u+w—X"+X—= o, et en intégrant,
X = Ccoséæ C'sinEé.
Faisons, pour simplifier, C =æo, C'— o, il viendra X — 0,
E— —(aËë + bn\isinin — b cosin:
etles équations (5) donneront
x = bcosin cos Ë — aïsininSMË, (ro) y = bcos in sin Ë + ai sin in COSË,
3 = aË + bn,
ou bien, en coordonnées polaires, si l’on fait x = r cos w, y =rsino®,
r COS (o — Ë) — b cosir, (rr) r Sin (w —Ë) — aisinin,
2= aË + bn.
Les équations (10) et (11), en supposant qu’on ait éliminé £, n, représentent une espèce particulière de surfaces minima. Dans le cas particulier où a — o, elles donnent
À WI < Eng as ).
équation de la surface de révolution engendrée par une chaînette.
Sib—0o,ona
T Z DURE es 2 [44 équation de lhélicoïde gauche à plan directeur.
Dans le cas général, où a et b sont quelconques, l’élimination de Ë, n donne
2 av = a arctangr a y a? + 2
équation qui représente évidemment une surface engen-
ti COL ONE AN AU TR EE) KO AE LS NES 77 NS TES ME
drée par le mouvement hélicoïdal autour de l’axe des z d’une certaine courbe plane dont on trouve l'équation en faisant dans celle qui précède w —0,r = x.
169. Il existe un moyen très-simple de réaliser une multitude de surfaces à aire minima, c’est-à-dire à courbure moyenne nulle, ou, plus généralement, à courbure moyenne constante. M. Plateau a fait voir, en effet, que cette propriété d’avoir sa courbure moyenne nulle ou constante est la condition d'équilibre d'une lame liquide très-mince, d’une bulle de savon par exemple, dont la masse est sensiblement nulle, et que l’on peut considérer pour cette raison comme soustraite à l’action de la pesanieur, comme soumise à la seule action des forces moléculaires : si celte lame est fermée de toute part de manière à emprisonner une certaine quantité d'air, la courbure moyenne est constante, et plus ou moins grande selon la différence des pressions intérieure et extérieure; si, au contraire, la lame est en contact, par ses deux faces, avec l'air libre, la courbure moyenne est nulle.
En se servant, pour faire naître ces bulles ou ca d’une solution de savon et de glycérine mélangés, M. Pla-
teau a su leur donner une persistance extraordinaire.4
On peut alors étudier tout à l’aise les formes très-diverses, très-originales, suivant lesquelles les lames liquides s’arrondissent ou s’étalent, lorsqu'on les assujettit à adhérer aux contours de charpentes rigides dessinées à l’aide de fils de fer légèrement oxydés par l'acide nitrique, et qu'on plonge un instant, pour les retirer presque surle-champ, dans le mélange glycérique. L’illustre physi-
cien à ainsi Créé un procédé facile et charmant de résou-
dre expérimentalement le problème de la moindre surface passant par un contour donné.
Veut-on, par exemple, la surface engendrée par la ré-
AN NRA ENS *, URL NR 717 0: d t Ai Va " ; ü 4
volution d’une chaînette autour de sa directrice, surface à laquelle M. Plateau a donné le nom de caténoïde, on introduit, au moyen d'un pinceau imbibé de solution glycérique, une petite quantité de liquide entre deux anneaux circulaires presque en contact ; on soulève doucement l’anneau supérieur, et l’on voit un caténoïde laminaire arrondir sa surface entre les deux anneaux. En continuant à faire monter graduellement lanneau, on voit le caténoïde se resserrer, s’étrangler en son milieu, et bientôt se rompre pour se convertir en deux lames planes s’étendant sur les deux anneaux. Cette rupture a lieu lorsque la distance * des deux anneaux est à peu près égale aux deux tiers de leur diamètre, exactement comme l’exige la théorie. I résulte, en effet, de notre discussion du problème de la moindre surface de révolution (n° 193), que la chaïnette génératrice devient impossible lorsque le rapport entre la distance et le diamètre des deux bases, supposées égales, dépasse cot {56° 28/) ou 0,6627. Nous avons vu, en outre, qu'aussi longtemps que cette limite n’est pas atteinte, il existe deux chaïînettes ayant l’axe de révolution pour
directrice, mais que c'est l’extérieure ou la moins rentrée qui seule donne le minimum. Or ce résultat, que nous croyons avoir tiré le premier du calcul des variations, est encore parfaitement d'accord avec l’expérience; car M. Plateau avait déjà observé que des deux caténoïdes possibles, qu’il a le premier signalés, c’est toujours le moins rentré qui se produit, et il en avait conclu que le caténoïde intérieur ou plus rentré est instable.
ProBLÈME XXIV.
170. Quelle forme doit avowr une surface d’étendue ou d'aire donnée pour que son centre de gravité se trouve le plus bas possible ? di
Si l’on suppose que l’axe des z coïncide avec la direc-
tion de la pesanteur, l’aire U de la surface sera
aL Ya el Î Vi+p'+g.dy dx, %, UT
et l’ordonnée verticale de son centre de gravité
Fes Z= = 3 V1 + p?+ q°.dy dx.
Te don
La question consiste à trouver parmi toutes les formes de la fonction z pour lesquelles l'intégrale U prend une certaine valeur déterminée, celle qui donne pour Z, et par suite pour UZ, la plus grande valeur possible ; ou à chercher le maximum absolu de l’intégrale
Fa Ta re il hi (z— a): + p°+ q°. dy dx, x Ji
dans laquelle a est une nouvelle quantité constante mais inconnue, qu'il faut déterminer, de manière à faire pren-«
dre à l'intégrale U la valeur donnée qu’elle doit avoir. "" On a L V= (ea) TT +; DS one 3 3% 4 Z 0 6 N= ÿr+p? +9? Pa map nt en Vi p'+ag Vi+pi+ aq?
et la forme générale de la surface cherchée sera déterminée par l'équation indéfinie
(a) 1+p+g=(z—a)}(r+gt)r—2pgs+(i +p)t |.
Cette équation exprime une relation remarquable entre les rayons de courbure principaux R, R’, de la surface. En effet, si l’on regarde chaque rayon comme
APPLICATIONS À DES INTÉGRALES DOUBLES. 335 positif, lorsqu'il est dirigé en bas, c’est-à-dire lorsqu’à partir de la surface sa direction forme un angle aigu avec le demi-axe des z positifs, et négatif lorsqu'il est dirigé en haut, on aura |
(SRG T = 2Dgs EP PME ut, 01 3 ir pp’ (1 +pt+9t) EU et l'équation (1), devenue
I I I a — 5 MAMIE (ea) VE piee
exprimera que le rayon de la courbure moyenne est Le double de la normale prolongée Jusqu'à un certain plan horizontal dont l'équation est z = 4.
171. Lorsque le contour entier de la surface est donné, la condition de maximum ne fournit aucune équation aux limites. Maïs si l’on connaît seulement la projection du contour sur le plan xy, ou les valeurs limites de y et de x sans celles de z, on devra avoir en chaque point du contour
Qdx— Pdy —0o ou qgdx — pdy = 0;
équation qui exprime que la surface est partout normale aux cylindres ou aux plans qui la limitent dans le sens des x et des y.
Plus généralement, si le contour devait se terminer sur deux ou sur plusieurs surfaces données, de forme quelconque, on aurait, en représentant par p', q’ les dérivées partielles de z relatives à l’une ou l’autre de ces surfaces terminales, la condition
L Ÿ re RE RS LE NN.
“sad * + LUE
1+ pp +gq= 0,
c’est-à-dire qu’en chaque point du contour, la surface cherchée devrait couper les surfaces limites sous un angle droit.
172. La surface dont le centre de gravité est le plus bas, a beaucoup d’analogie avec la chaînette, qui parmi les courbes jouit de la même propriété. Pour rendre cette analogie plus frappante encore, supposons que la surface représentée par l'équation (1) soit un cylindre ayant sa génératrice parallèle à l’axe des y, et cherchons quelle
doit être alors sa forme. On aura dans ce cas qg = 0; s—0,t—o, et l’un des rayons de courbure principaux
sera infini, tandis que l’autre se réduira,
R—{:—a)Vitp.
Dans cette équation, qui détermine la forme de la section normale à l’axe des y, on reconnaît sans peine l’équation de la chainette. Maïs il faut se garder d’en conclure que la surface ainsi déterminée soit parmi toutes les surfaces cylindriques celle dont le centre de gravité est le plus bas; elle ne le serait en effet que dans le cas où la longueur de la génératrice ou la différence y: — y, resterait constante.
Dès que la différence y: — y, redevient variable, la courbe
directrice du cylindre cesse d’être une chaïînette. Pour trouver, en effet, la surface cylindrique dont le centre de
gravité est le plus bas, il aurait fallu dès le départ faire
entrer en ligne de compte la condition g — 0, ce qui aurait modifié sensiblement l'équation générale (1). Au reste, cette dernière question est celle que nous avons traitée, Problème X[, en cherchant la forme d'équilibre d'un fil dont la densité ou l’épaisseur est variable.
Progiime XX.
173. Un certain volume de matière homogène est terminé en haut par un plan horizontal, en bas par une surface courbe d’étendue ou d’aire donnée, quelle doit étre la forme de cette surface pour que le centre de gravité du volume soit le plus bas possible ?
Si l’on prend le plan horizontal donné pour plan des xy et la direction de la pesanteur pour axe des z, le problème revient à chercher le maximum de l'intégrale
ei ee Re af il (a+ 207 — 2 a V1 + p°+Q?) dydx, “sf Ji
a, c étant deux constantes, qui permettront d’assigner à l’aire de la surface courbe et au volume les valeurs déterminées qu'ils doivent avoir.
On a V— + 203 — 2a V1 + p'-+ g!, PME À RDS 249
N—2{(2+0c PB ="; QE k Hene re Vies
ue ne, : L 1P d et la condition générale de maximum, N — CASE 0, dx dy devient PEER ARTE d': ÉGALE z + cc Vi+ p°+ q° Vi p'+ q° D ee RER ce a dx dy
ou, en développant, et désignant par R, R’ les deux rayons de courbure principaux,
Telle est l'équauion de la surface cherchée. Elle exprime IV. 29
qu’en chaque point de la surface la courbure moyenne est en raison inverse de la distance à un certain plan horizontal dont l’équation est z Hé 0.
La surface devant aboutir sur tout son contour au plan x, les valeurs limites de z sont nulles; si celles de x, y ne sont pas fixées, ou si le contour de la surface dans le plan xy n'est pas assigné à l'avance, les équations aux limites se réduisent (n° 67) à la condition unique
V—Pp—Qg—=o, OU Î
Te ee y NU Vi+ p'+ g°
qui doit subsister en chaque point du contour, et qui exprime que la surface courbe est normale au plan y le long de leur intersection commune.
Prorrème XX VI.
174. Parmu toutes les surfaces recouvrant le méme volume et ayant les mêmes limites, trouver celle dont l'aire est minimum.
Les conditions du problème étant
HP dy dx = const., JINTEE p° + q°. dydx — min.,
la question revient à chercher le minimum absolu de
To Æ Lee À are Men vin ik [ (aVi pi q— z)dydx, TV
l'intégrale
æ étant un facteur constant, mais indéterminé. Dans les nolations adoptées, on à Va Ep + ps,
ap
NS RS QE Ft Vi+ p+ q: Vr+p+ q°
APPLICATIONS À DES INTÉGRALES DOUBLES. 339 et la forme générale de la surface cherchée sera caractérisée par l'équation indéfinie
be
NO
(1) (1+g'}r— 2pqgs+(i+ p)t + =: (1 +p+9) = 0.
Soient toujours R et R’ les rayons de courbure prineipaux, que nous supposerons cette fois positifs lorsqu'ils seront dirigés en bas, c’est-à-dire lorsque la surface tournera sa concavité vers les z négatifs; négatifs, quand la concavité sera dirigée en haut. L'équation indéfinie devient
T E ve Ra RUE et elle exprime que la surface qui sous la moindre aire possible renferme un volume donné, jouit de cette propriété remarquable d’avoir en chaque point la même courbure moyenne.
A75. Un mot sur les équations aux limites dans les hypothèses les plus simples. Si l’on connait seulement la projection du contour de la surface sur le plan xy, ou les surfaces cylindriques perpendiculaires au plan x, entre lesquelles elle reste comprise, on devra avoir en chaque point du contour
Qdzx — Pdy —0o, ou gdr--pdy = 0,
équation qui exprime que la surface cherchée rencontre sous un angle droit toutes les faces du cylindre limite.
Plus généralement, si la surface cherchée doit se terminer sur une surface quelconque dont l'équation aux dérivées partielles soit dz = p'dx + g'dy, on devra avoir, le long du contour,
V4HP(p—p)+Q(g —q)=0, De
OL
2V1+p+g—a(i+ pp + gg) = 0; et cette équation exprime la propriété suivante :
Si par le pied de l’ordonnée z d’un point quelconque du contour on fait passer un plan parallèle au plan tangent à la surface limite, et que par le méme point du contour on mène une normale à la surface cherchée, cette normale, prolongée jusqu'à la rencontre du plan parallèle, sera constante et égale à a.
Dans le cas particulier où la surface doit se terminer dans un plan horizontal, représenté par l'équation z =, on a p'—0, qg — 0, et la formule précédente se réduit à
RE ee NT VIP Ar ane
d’où l’on conclut facilement que la surface demandée
coupe le plan Himite sous un angle constant.
Le cosinus de cet angle est —; il sera nul lorsque le «a
plan horizontal se confondra avec le plan xy. Donc la surface qui avec un plan donné renferme un certain volume sous la plus petite aire possible doit être normale au plan en chaque point de l'intersection commune. Une demi-sphère de rayon convenablement choisi remplira évidemment cette condition, en mème temps qu’elle satisfera à l'équation indéfinie (1); c’est donc une solution du problème, mais il faudrait pouvoir prouver en outre que c’est la seule.
176. Considérons encore le cas où le contour est indéterminé, ainsi que sa projection sur le plan xy, mais où l’on se donne l’aire circonscrite par cette projection. Aux
conditions premières il faudra joindre les suivantes :
PLa PI f dydx=— const., #} Yi
et chercher le maximum absolu de l’intégrale
La Ha ji J (V + c) dydx, #; Ji
V ayant la même signification qu'auparavant. On obtiendra la même équation générale ou indéfinie (1); mais les équations aux limites deviendront
V+-c=oÿ Qdr — Pdy —0, pour Y = Y1y Y = Je et
Ya [ (Me 0 PET y
JOUT = Li, X — Lo.
; |] 2 Les deux premières donnent
En V1 4e P+ 4, qdx — pdy = 0;
on a d’ailleurs dz = pdx “+ pdy ; donc
dr" AY dz ds
ii q Prd ON(pEq)t Ep ea)
el par suite ds? (z—c}
PER D RQ l Î ds? — dz a?
ou bien
et, en intégrant, «
l'arc 5 étant compté à partir du point pour lequel z = a + c. Donc si l’on développe le cylindre limite sur un plan, le contour rabattu formera une chaïnette dont le paramètre sera égal à a. L’équation |
qdyÿ — pdx —'o
prouve d’ailleurs que la surface cherchée rencontre Îles cylindres limites sous un angle droit.
Il paraît difficile de tirer rigoureusement des équations indéfinies ou aux limites d’autres conséquences que celles que nous venons d’énumérer. Maïs on voit immédiatement que, dans le cas dont il s’agit, le plan horizontal déterminé par l’équation
