SIGNE DE SUBSTITUTION

donner la valeur y; à la variable y, et ensuite à la varia-

La 2 ble : x. la valeur x,. De mème la notation | | V signifie À be

va

À qu il faut 1° remplacer tour à tour dans V la variable y

av,

# par les valeurs y; et y:, et retrancher le premier résultat du second ; 2° donner tour à tour à x, dans la différence

ainsi Ma les valeurs x, et x+, et retrancher de nouveau les deux résultats lun de l’autre, de sorte que

De. 2 ds à PT TNT

1 #4 | On aurait de même AS EC TRON EX FLE L Z

[1 1 La [Ya [Ze Ly fa [Z CHU BAT LES [Ts 12 [4 MR EL LEURS

Pour retrouver avec leurs signes les différents termes du second membre, il sufhra de former le produit sym-

É bolique

re

MR pe EN / La Je Ja De” ; / e Ca

Ces deux exemples montrent déjà la simplification considérable qu'on peut tirer en certains cas de l'emploi des signes de substitution double.

Les substitutions simples ou doubles se mêlent souvent à des intégrations, qu'elles peuvent précéder ou

a PAT; suivre selon les circonstances. Ainsi | J Vdy indiquera qu'il faut d’abord intégrer Vdy entre les limites Y1 et y» et remplacer ensuite x par x. Au contraire

san de | V dx exige qu'on substitue d’abord y, à y es la

fonction V, et qu'on intègre ensuite le résultat Le plié par Le entre les limites x; et x. A la rigueur on

devrait écrire

Le DAT rx, Ti 1h a | V au lieu de | | | Vdx ; T; LP à

mais par la même raison que dans les intégrales multiples on ne sépare pas les signes ff... par les différentielles dx, dy, eic., nous préférons la seconde manière d'écrire, où les signes f'et | se succèdent immédiatement. Pour la jus- | tifier, s’il était nécessaire, on pourrait dire que la différentielle dx n'étant Ph fonction de y, n'est pas atteinte par les substitutions op ’on peut faire relativement à cette variable.

Pour ne laisser rien d’obscur, considérons encore la

La [Pa 17:

| J | Le T on z

notation

Elle exige que l’on fasse d’abord dans la fonction VI

substitution double relative à z: qu’on intègre ensuite.

par rapport à y le résultat obtenu multiplié par dy, et qu’on procède enfin à la substitution double relative à la variable x.

3. Une fonction à laquelle on a fait subir soit des intégrations entre certaines limites, soit des substitutions simples ou doubles, relatives aux variables dont elle

dépend, s'appelle expression définie. Elle n’est plus

SIGNE DE SUBSTITUTION. 5 fonction de ces variables, que nous nomimerons variables principales, et ne dépend que des paramètres ou constantes indéterminées qu’elle peut renfermer. Dans ce qui suit nous désignerons en général par

AN Due à S RÉ

les variables principales qui entrent dans la fonction donnée, par ESS CT ES M ae JO So M les limites inférieures de ces variables, par Lhy Vas M22800 0 Sos. La

leurs limites supérieures, par x un paramètre indéterminé ; et nous supposerons (ouJOurs, à moins que nous ne disions le contraire, que les substitutions et les intégrations ont lieu successivement par rapport aux variables principales dans l’ordre inverse des lettres x, y, z,..., s, t; de sorte que la première opération soit relative à £, la dernière relative à x. Nous admettrons aussi que les limites x, et x, de x sont indépendantes de toutes les variables principales, tandis que les limites de y pourront être fonctions de x, celles de z fonctions de x et y, et ainsi de suite jusqu'à la variable t, dont les limites seront en général fonctions de x, y, z,..., s. Quant au paramètre x, il pourra entrer non-seulement dans la fonction donnée V, mais aussi dans les valeurs limites de toutes les variables principales x, y, z,...,t, quoiqu'il doive être bien entendu que ces variables elles-mêmes sont entièrement indépendantes les unes des autres etde x.

4. Propriétés du signe |. — Le signe de substitution simple, placé devant une fonction composée quelconque, porte sur chacun des éléments qui entrent dans sa formation, de sorte qu'on a

7x { #; Er 24 | firm.) SA] 1.3 | P, | Dir >:

De ce principe général on peut tirer plusieurs conséquences parmi lesquelles il nous suflira, pour le moment, de noter les deux suivantes :

1° Lorsque la somme algébrique de plusieurs fonctions est soumise à une ou plusieurs substitutions successives, simples ou doubles, on peut effectuer séparément les substitutions indiquées dans chacune de ces fonctions et prendre la somme algébrique des résultats ainsi obtenus. On aura, par exemple,

X, Je Tin [Ya UE 2" Aix 1 (u+v—w) = Ho p — w.

Fr; ri r N4

On pourrait énoncer cette propriété en disant que la substitution. de la somme est égale à la somme des substitutions.

2° Lorsque le produit de plusieurs fonctions est soumis à une ou plusieurs substitutions simples, on peut effeetuer séparément les substitutions indiquées dans chaque facteur et former le produit des résultats obtenus. On aura a1n5]

Ty Ja x, HAS T; Be x; d'a LA | uw. p, æw.

Dans le cas de substitutions simples, la substitution du produit est égal au produit des substitutions.

Si la quantité qui se trouve engagée sous un signe de substitution simple, est constante, ou seulement indépendante dela variable à laquelle se rapporte la substitution indiquée, le signe ] est sans eflet aucun et peut ètre supprimé. On a évidemment

l; La #, 4 X, Lo Xe | a | HER | RP il #, | AU il u,

lorsque À est constant ou indépendant de x, et par suite

[Ta T; Dan | É = 0; | Murs 2. lex a À 1

1 CAE) M