Ce même principe de la répétition des substitutions
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simples peut servir à réduire une expression définie à la forme d’une intégrale définie toutes les fois que les substitutions qu'elle renferme sont simples. Il suffit en effet pour cela d'effectuer séparément les substitutions dans la fonction V et dans les limites des intégrations. Prenons pour exemple l'expression
En Na TEL le | { | | V dt dy, A S'otn
V étant supposé fonction des quatre variables x, y, 2, t.
Si l’on effectue les substitutions indiquées dans chacune
des quantités V, £,, 1, Yi, Y», et qu'on désigne respecti-
vement par V',#,,4,,y,, y,, les résultats de ces substitu-
x, 0 JE) v=| | Va Can Ed Xi, 7 A Li =] Ji &=] | Lo; à Ji a Ja
l'expression proposée deviendra
4 A ", J. J V'dtdy, A 42
et prendra ainsi la forme d’une intécrale définie. Arou- P 8 J
üons, de sorte que
tons que, par suite des substitutions effectuées, V'est fonction de y et; {et #, sont fonctions de y, tandis que
SIGNE DE SUBSTITUTION. 9 y, et y, sont constantes; de sorte que y et t sont les seules variables qui figurent réellement dans cette intégrale. Si l’on ne tenait pas à rendre les substitutions visibles, on pourrait supprimer les signes [| et écrire simplement
Te Le : Ti Ya [Zi la 1 V dt dy, au lieu de | f | k Vat dy, Yi #, UT; in
en sous-entendant qu'on devrait faire préalablement z—=2,et x = x, dans celles des fonctions V, ti, 15, Y15Ys qui dépendent des variables z et x.
Lorsque l’expression donnée renfermera des substituüons doubles, on les décomposera d'abord en substitutions simples et l’on transformera séparément chaque terme du résultat, ce qui donnera une suite d’intégrales définies.
Üne expression définie est invariable tant que les constantes indéterminées qu’elle renferme conservent des valeurs fixes. Mais si l’une de ces constantes z, devenue paramètre variable, change de valeur, l'expression définie variera elle-même, en tant que fonction de ce paramètre, et pourra être différentiée par rapport à lui. Le calcul des variations, comme nous le verrons dans la suite, se réduit en effet à la recherche des dérivées des expressions définies ; il faut donc avant tout exposer les règles générales de la différentiation de ce genre d'expressions, qui sont de trois espèces : 1° expressions définies par substitution, ou qui résultent uniquement de substitutions ; 2° expressions définies par intégration, ou intégrales définies; 3° expressions définies mixtes, ou qui résultent à la fois de substitutions et d'intégrations se succédant dans un ordre quelconque.
7. Nous considérerons successivement ces trois espèces d'expressions définies et nous chercherons leurs dérivées relatives à un paramètre z, contenu tant dans la fonction
donnée V que dans les limites des variables x,y,2,...,14; mais avant lout, pour simplifier les formules, qui sans cela deviendraient très-complexes, et pour leur donner toute la clarté, toute la symétrie possibles, nous ferons une nouvelle convention. Comme les variables x,x,7,2,...,t sont indépendantes les unes des autres, on ne saurait attacher aucune idée aux quotients différentiels
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dy d'a dx’ dx dy ? cependant nous ferons usage de ces symboles précédés d’un signe de substitution, et nous leur donnerons la signification déterminée par les formules
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c'est-à-dire que la dérivée de l’une quelconque des variables indépendantes x, y, z,..., 1, laquelle en elle-même n'a aucun sens, représentera pour nous la dérivée de celle deslimites inférieure ou supérieure de cette mème variable accolée au signe de substitution. Cette convention s’étendra également aux dérivées des ordres supérieurs.
Îl n'est pas même nécessaire que Île signe de subsutution précède immédiatement la dérivée symbolique pour en déterminer le sens; il pourrait en être séparé par d’autres signes soit de substitution, soit d'intégration, ou par un facteur, sans que la significationtde la dérivée cessàt d’être déterminée. C’est une conséquence naturelle du principe de fa répétition des substitutions (n° 9).
