METRE
To Ja Za 7 A‘ hs . Lo re ! ax dt. -.didydx T, DA Z; ut, e Pi re FE ère . ... dedydx
BANANE L, de é, J ëp Ce Vide dydx d'x dirt ne 14 L iris ne UE de... dzdx +h 1 Je Ke V — ar . dzdy.
+ + ÈSE,
Pour démontrer rigoureusement cette formule, il suffirait de montrer que si elle est vraie pour 7 — 1 variables
LC, Y> Z)
...,s, elle l’est encore pour »# variables x, y,
-Z,...,5, {, CE qu'on pourrait faire en suivant la même * marche que dans Île cas des expressions définies par sub-
stitution.
La [Is MZ ; RLs M2 [Ze d HUE ee AV rar eh V © dydx dx , dx X, vY Z x JF Z;
Sy Ft
sx CALCUL DES VARIATIONS.
Interprétée en langage ordinaire, cette formule fournit la règle suivante :
Pour obtenir la dérivée d’une intégrale multiple quelconque relative à un paramètre x qui entre non-seulement dans la fonction V, mais aussi dans les limites des intégrations, il faut: 1° prendre en dedans des signes d'intégration la dérivée de la fonction V par rapport à »; 2° ajouter au premier terme ainsi obtenu un nombre de termes égal à celui des variables, et dont chacun se déduit de l'intégrale proposée en changeant tour à tour le signe d'intégration relatif à chaque variable en signe de substitution double correspondant et remplacant en méme temps la différentielle de la variable par sa dérivée relative au paramètre dont il s'agit.
15. Troisième cas.— Expressions définies mixtes. — Pour simplifier le langage, nous distinguerons les variables principales qui entrent dans une expression définie mixte, en deux catégories : nous appellerons variables de substitution celles qui sont l’objet de substitutions ou par rapport auxquelles on substitue, et variables d'intégration celles par rapport auxquelles on intègre.
On trouvera dans tous les cas la dérivée d’une expression définie mixte, en appliquant convenablement et tour à tour les formules (4) et (8). Prenons, par exemple,
pour point de départ la formule relative aux intégrales
simples Ve 4 Fr æ d'M0: ? AV Ad Var RARES MUON EE:
d'> d'y dar e/ y vx " ÿ, remplacons V par | V,et par conséquent sp
dV V3 LAN: dN dy Var Here QUE dx NE (a à dy d'y 4
FE
EXPRESSIONS DÉFINIES. 25 et faisons passer sous le signe de substitution relatif à y le dx 4 : : :
facteur —, ce qui est permis, puisque ce facteur est indx
dépendant de la variable y; il viendra
8 La 1Ya RITa [Ya La | Var = | | (S RE dx
dy a SNS Latn dy dr | JF d'y it; A
Si dans cette nouvelle équation on remplace V par
J Vdz, et par conséquent 2 |
7 Z HAE Z 2 7 2 4 dv A d\ ni y Z d dy d | ; nn: MAD dx dy ti et qu'on fasse passer les facteurs Ts Lt, sous les signes
de substitution ou d'intégration relatifs à la nouvelle variable z, qui n'entre point dans ces facteurs, on trouvera de même :
AUS PE RTS PF Rats fi aN dNdy
— TE ke ns ——— — —— | did:
NT | | Vdzdx | | (& 1x à #) dzdx x, Ye/4, CHE LE PC ER 5
MT NN D PR Ar PPT à 8 da NON à dx dy dx,
1 ul 1
Par un procédé tout à fait identique on établirait suc-
cessivement Les formules suivantes :
au Le dNV FA dx “ da TETE da, sine dN dx \ nf. ss da AO dx)
ane) JT ÉAA
EN ES PA TE EE À dx, dV dz dz dx ;, 1e i NAS PT dx dz dx ME 4 L, BA Zo du RL, Ré dy dy dx A PAR LPS ARTE LA +] | | Ù Ce +2) X; SA Zi
14. Il est aisé de voir qu'une suite d'opérations semblables, convenablement choisies et exécutées, conduirait à la dérivée d’une expression définie quelconque. Partant d’abord d’une expression qui ne renferme qu'une variable principale, on passerait successivement au cas de deux, trois variables, etc., en mettant toujours à la place de la fonction V une nouvelle expression définie. Or, si l’on applique cette marche à un nombre suffisant d'exemples, et qu'on examine attentivement les valeurs finales des dérivées obtenues, on ne tarde pas à entrevoir la loi de formation des termes dont elles se composent, et à découvrir la règle générale de dérivation, qu’on peut énoncer comme il suit :
Rècze GÉNÉRALE. — Pour obtenir la dérivée relative
à x d'une expression définie, résultant d’un nombre . . 2 ’ . « r
quelconque de substitutions ou d'intégrations à opérer
sur une fonction V, i faut : 1° prendre en dedans des
EXPRESSIONS DÉFINIES. 29 signes de substitution et d'intégration la dérivée totale de La fonction N par rapport à »; 2° ajouter au premier terme àinsi obtenu un nombre de termes égal à celui des intégrations , et dont chacun se déduit de l'expression définie donnée, en changeant tour à tour le signe d’intégration relatif à une variable en signe de substitution double correspondant, et remplacant en méme temps la différentielle de cette variable par sa dérivée totale relative à x. Quant à la dérivée totale soit de N, soit de X, Y, 3,..., que doit renfermer un terme quelconque, elle sera formée, comme si chacune des variables de substitution qui entrent dans ce terme, était fonction de toutes celles qui la précèdent, et de x.
15. Ii n'est pas difficile de prouver que si cette règle est vraie pour #2 — 1 variables, elle le sera encore pour n variables. Admetions, en eflet, qu’elle est vraie pour une expression définie renfermant les variables principales L, Yr Z,-.:, 5, et examinons d'abord ce qui arrive, si
le l’on remplace V par / V dans la dérivée de cette exprest
L, sion. Le signe | prend place dans tous les termes à la on suite des autres signes de substitution et d'intégration, et tous ces termes conservent leur forme, à l'exception du premier, lequel d’après la règle générale devait renfermer la dérivééetotale de V relative à x, formée comme si chacune des variables de substifution était fonction de toutes celles qui Ja précèdent et de », et qui, actuellement, renferme la t 3 dérivée totale de | V prise dans la même hypothèse. Mais
si l’on développe cette nouvelle dérivée totale, on retrouvera encore, sous le signe de substitution relatif à #, la
dérivée totale de V, prise cette fois, ainsi que cela doit être, sous la condition que la relation de dépendance rétrograde entre les variables de substitution s'étend à la variable £. La dérivée de la nouvelle expression définie à’ n variables, du moins lorsque la 7°"”*° variable est affectée d’un signe de substitution, rentre donc tout à fait dans la règle générale.
Il en sera de mème, si cette nouvelle variable est affeciée d'intégration. En eflet, si nous remplaçons V par
nl,
| V dt dans la dérivée de l'expression définie à 7 —1
Can
le variables, le signe | s’introduit dans chaque terme à la
suite des autres signes de substitution et d'intégration, ét tous les termes conservent leur forme, à l’exception du pre-
Le mier, dans lequel la dérivée totale de [ V dt doit remk Car
placer celle de V. Maïs, en effectuant les calculs, on reconnaîtra que ce premier terme se partage en deux autres, renfermant l’un la dérivée totale de V affectée du signe
PR La
intégral | , l’autre le produit de V par la dérivée totale
le de t, affecté du signe de substitution | ; et ce résultat d,
est parfaitement conforme à la règle générale. Il est done bien prouvé que, vraie pour 2 — 1 variables, cette règle l’est encore pour z variables; or elle est vraie évidemment dans le cas d’une seule variable; donc elle lé sera quel que soit le nombre des variables.
Nous avons supposé Jusqu'ici que l'expression à diflérentier ne contenait que des signes de substitution double ; mais On pourrait évidemment les remplacer tous, ou en
Li PO TA
partie, par des signes de substitution simple, sans avoir rien à changer à la série des raisonnements qui précèdent. La règle établie conduira donc également à la dérivée des fonctions définies renfermant des substitutions simples.
16. Il ne sera pas inutile d'indiquer en peu de mots comment on peut arriver plus directement à la règle générale que nous venons d'établir. S'il s’agit de différenter une expression définie mixte, ne renfermant que des substitutions simples, on pourra lui donner d’abord la forme d’une intégrale définie (n° 6), et appliquer ensuite la règle de la différentiation des intégrales, ou la formule (8). Supposons, pour fixer les idées, qu'il s’agisse
de différentier l'expression ÿ V dtdy.
FA
T, Ja 12:
s=} [| VA 1
D'après le n° 6, il est permis de supprimer les signes de substitution et d'écrire simplement
pourvu qu'on ait fait préalablement x = x, et z — 2: dans celles des fonctions V, ti,t2, Yi» Ya, Où entrent les variables x et z. On aura done, toujours en admettant cette même hypothèse, en vertu de la formule (8),
dS in BF v Za TA T SEE LR EE v|=— là d'y | 5e la + | da |°7 VT; £, “LR ê, 5 das lé: dy:
+ VI = |, | ; da.
: ;, FSU ds pourvu que, dans la formation des dérivées totales Pa (424
Enr dy da * TR
» On tienne compte des substitutions sous-en-
tendues. Or, puisque les variables x et z, devenues x, et Zi, entrent dans la fonction V et dans les limites /,, &, représentées toutes deux par la lettre t dans la dérivée symbo-
dt lique E a | et que la première des deux variables entre seule dans les limites y, et.y2, représentées toutes deux : px © x ® d | par la lettre y dans la dérivée symbolique TL les va- ; Te x
leurs effectivés de ces trois dérivées seront :
É 0 FRE NOR dr aN dz dx de | Jar e de dx Ÿ & nr.
É L JE de dx , {de di dx di] | jar ad T&\ar | dd) |’ : 2 Fa CCR dy ).
dx dx dr Ce 12 . A rss ds , Si l’on introduit ces valeurs dans la dérivée 7. €t qu'on Œ x
rétablisse les signes de substitution, on obtiendra définitivement
dS RAT AE la! adN dadNdx dN/dz dzdx\ ES d'u À 1 VE AL d+ dz ae dz Ha ) A
Xi Ye [3 Jte A 2 L,
EN VE Z, nt, Mrs Jy l +] | li] v(R+ DE) ar pi t dx ‘: dx dr
Comme les expressions définies qui renferment des sub. sütutions doubles, se partagent en plusieurs expressions ne renfermant que des substitutions simples, et dont chacune donne une dérivée exactement de mème forme, sauf les limites différentes accolées aux signes de substitution, la formule précédente subsisterait encore si on changeait
dx dxdx
dt . dt dx dt {dz dz dx PEN ” Dee DDR | tn 4à
TP
- # E: | EXPRESSIONS DÉFINIES. 29 » Ja PE + ed : . ‘ ° s .
les subsuitutions simples | } | , en substitutions doubles #5 v£ dE
Pour peu qu'on réfléchisse à la marche suivie dans cet exemple, on est bientôt convaincu qu'elle conduira à la dérivée d’une expression définie quelconque, renfermant avec les intégrations soit des substitutions simples, soit des substitutions doubles; qu'il suffira pour cela de prendre la dérivée de l’expression définie, comme si c'était une intégrale définie, en négligeant. les signes de substitution, pourvu que dans la formation des dérivées soit de V,; soit de #, s,..., on tienne compte des substitu-
tions sous-entendues, en ce sens qu’on traite chacune des
variables auxquelles se rapportent ces substitutions, comme une fonction de toutes celles qui la précèdent et de x; dans le résultat ainsi obtenu on rétablira ensuite les signes de substitution à leur place primitive.
On reconnait sans peine que cette marche à suivre est précisément celle qui résulte de la règle générale déjà formulée.
17. Nous allons montrer par quelques exemples combien son application est facile." Veut-on, par exemple, la dérivée par rapport à > de l'expression
La Ya Ze s=| f f var Lis: Z
on prendra d’abord la dérivée totale de V, en conservani les signes | f f';"on ajoutera à ce premier terme deux autres termes.que l’on déduira degl’expression proposée en remplaçant tour à tour chaque différentielle 4z, d;"par la dérivée totale de z ou de y relative à z, et changeant en même temps l'intégration relative à ou yen substitu-
tion double fret On aura donc
PO Ta Ya Ze dz | ; gui Jar | il | ve dr à T, v T ri Z; te / +. 1. pe V “ dz.
dx TL, J, 2,
Comme dans la formation des dérivées totales, entourées des accolades |], il faut toujours regarder chacune des variables de substitution comme une fonction de toutes celles qui la précèdent et de z, les valeurs de ces dérivées seront :
AN re POLE dz | dz dz dx pe KT PS 1
dy | dy dy dx DL !
T=S dV dx.
On arrive ainsi au résultat suivant, qu'on aurait pu déduire immédiatement de la règle générale :
AJ Vdzdy
di, dV dx Jus |
ï He FE N EN FE
M LV dz dz dx
