PRÉFACE

L'origine du Calcul des Variations remonte à lannée 1696, époque à laquelle Jean Bernoulli proposa le fameux problème de la brachistochrone, dont la nouveauté attira vivement l'attention des Géomètres. Jusqu’alors on avait considéré uniquement Îles maxima et les minima des fonctions de forme entièrement connue; il s'agissait cette fois de déterminer la forme même de la fonction inconnue de manière à faire prendre à une certaine intégrale sa plus peute valeur possible. Les Géomètres contemporaius de Bernoulli abordèrent et résolurent ce problème et d’autres du même genre, qui échappaient au Calcul infinitésimal proprement dit, par des artilices particuliers, plus ou moins directs ou indirects.

La science doit à Euler [a première solution régulière et générale de semblables questions, solution encore peu élégante, 1l est vrai, en raison des considérations infinitésimales, en partie analytiques, en parte géométriques, sur lesquelles elle était basée. L'honneur d’avoir fait disparaître ces dernières imperfections, et d’avoir ramené ce nouveau genre de recherches à une méthode simple et purement analytique, appartient à Lagrange. On peut donc dire en toute justice que les efforts réunis d’Euler et de Lagrange

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ont fait naître le Calcul des Variations, dont le but principal est la recherche des maxima et minima des intégrales définies.

Tel qu’il sortit des mains de ses illustres inventeurs, le Calcul des Variations constituait une méthode à peu près complète, quand la solution du problème ne dépendait que d’intégrales simples; mais l’application aux intégrales doubles présentait encore de grandes difficultés. Parmi les Géomètres qui ont puissamment contribué à les vaincre, il faut nommer Gauss, qui résolut le premier problème de maximum d’une intégrale double à limites indéterminées; Poisson, qui compléta [a théorie des maxima et minima des intégrales doubles; Ostro— gradsky, qui donna pour la première fois la variation complète d’une intégrale multiple sous une forme simple et symétrique, quoique encore peu propre aux applications.

Le Calcul des Variations en était là, quand, en 1840, l’Académie des Sciences de Paris proposa pour le concours du grand Prix de Mathématiques la question suivante :

« Trouver les équations aux limites que lon doit joindre aux équations indéfinies pour déterminer complétement les maxima et minima des intégrales multiples. » |

Le prix fut décerné à M. Sarrus, auteur d’un grand travail intitulé : Recherches sur le Calcul des Variations, qui a été inséré dans les Mernotres des Savanis étrangers, tome X, 1848.

M. Sarrus avait eu l’heureuse idée d'introduire un

PRÉFACE. N signe particulier pour indiquer les substitutions à faire dans une fonction quelconque, et, par ce simple artifice, 11 avait pu surmonter les obstacles qui avaient arrêté ses devanciers. Ces obstacles, en effet, consistaient principalement dans la difficulté d’exprimer, comme il l'aurait fallu, que dans telle expression donnée on a remplacé l’une ou l’autre des variables, et souvent même plusieurs variables à la fois, par leurs valeurs limites. La forme sous laquelle M. Sarrus présente la variation d’une intégrale multiple, est moins symétrique que celle de M. Ostrogradsky, mais elle est d’une application plus facile et presque immédiate. Trois exemples donnés à la fin de son Mémoire avaient suffi pour mettre en évidence les avantages de sa méthode, en montrant qu’elle fournit dans tous les cas l’ensemble des équaons dont dépend le maximum ou le minimum d’une intégrale simple ou multiple quelconque.

L'innovation de M. Sarrus, l'introduction d’un signe de substitution, parut à M. Cauchy tellement importante, qu'il s’empressa d’en faire le point de départ d’un nouvel exposé du Calcul des Variations, publié, en 1844, dans ses Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, tome I, p. 5o. Les formules générales de M. Cauchy sont au fond les mêmes que celles de M. Sarrus, mais l'emploi plus étendu de la nouvelle notation, et l’adoption d’un signe de substitution double, pour indiquer la différence entre les résultats de deux substitutions simples faites tour à tour, les a beaucoup simplifiées. Dans ce premier Mémoire, M. Cauchy s'était borné à éta-