XII PRÉFACE

blir les principes et les équations fondamentales, 1l avait réservé pour un second les applications qu'l voulait en faire; malheureusement, ce second Mémoire n’a Jamais Paru.

Malgré toute notre admiration pour M. Cauchy, nous n’avons pas pu nous résoudre à adopter sa définition nouvelle et généralisée de la vartation d’une fonction ou quantité. « Lorsque plusieurs fonctions ou quantités, dit-il, page 52, peuvent changer simultanément de valeurs et de formes, leurs varia— tions sont de nouvelles quantités ou de nouvelles fonctions dont les rapports sont égaux aux limites des rapports entre les aceroissements infiniment petits des variables et des fonctions proposées. » Sans doute que cette conception élargit le domaine du Calcul des Variations et va jusqu’à lui faire comprendre le Caleul différentiel qui n’en est plus qu'un cas particulier; mais cette généralisation, avantageuse peut-ètre au point de vue métaphysique, n’a-t-elle pas le grave inconvénient de rendre plus vague encore et plus insaisissable l’idée déjà trèsabstraite de la variation d’une fonction? Quand on ne restreint pas la notion de variation aux changements de forme de la fonction elle-même, quand on ne l’isole pas des changements de valeurs des variables dont elle dépend, on se voit plus tard dans la nécessité de distinguer plusieurs sortes de variations : variations totales, variations parüelles, variauons propres de M. Cauchy, variations tronquées de M. Sarrus, etc., etc.

Nous avons done conservé à la variation la signifi-

PRÉFACE. XII cation essentielle que lui attribuaient Euler et Lagrange; nous la faisons dériver essentiellement du changement de forme apporté à la fonction. De plus, nous écartant encore sur ce point de M. Cauchy, pour rester fidèle à Euler, nous faisons dériver le changement de forme de la fonction du changement de valeur d’un paramètre avec lequel elle est intimement liée, au moyen duquel nous pouvons l’amener à coincider avec toute fonction donnée des mêmes variables, ou à passer d’une manière continue d’une première forme à une autre forme quelconque. À ce point de vue, la variation pouvait être pour nous soit la différentielle, soit la dérivée de la fonction, relative au paramètre variable; nous avons écarté la signification différentielle, afin de ne pas tomber dans les infiniment petits; et pour nous, par conséquent, la variation est une dérivée partielle relative au paramètre variable; mais une dérivée qui n’a de sens qu’autant qu’elle se rattache à un changement de forme de la fonction, qui naît réellement de ce changement de forme et disparaît avec lui. Ajoutons, qu'entre la différentielle ou la dérivée le choix était complétement arbitraire; dans la substitution de l’une à l’autre, il n’y a, en effet, rien de changé ni dans les raisonnements, ni dans les équations finales, ni dans les conclusions. |

En étudiant attentivement les travaux de M. Sarrus et de Cauchy, nous avons découvert qu’on pouvait abréger grandement les écritures et les formules, souvent fort longues et fort compliquées, en introduisant une notation symbolique qui permit de réu-