Cette formule se simplifie considérablement dans

certains cas que l’on rencontre très-souvent dans les ap- . e il y

plications. Supposons d’abord que les valeurs y, et y» de y

correspondantes aux valeurs limites de x deviennent

égales entre elles, de sorte qu’on ait

LA x, LA LA Jr V2 [728 PL

le dernier terme de la formule sera identiquement nul et disparaîtra, parce que, dans le sens des y, son champ est nul. En effet, si l’on fait, pour abréger,

ce terme prendra (n° 6) la forme

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(1 1 L <a L z, £ CN pe 4 È — f | [ ef Vo ædf, adadñe Ji Z; el

et les deux termes de cette transformée s'évanouissent évidemment, parce que dans l'hypothèse de y, = 7y,,

y = 7"; les deux limites de la dernière intégration sont les mêmes. Ce cas se présente en particulier lorsque l’intégrale est limitée dans le sens des variables x, y par une courbe fermée et continue. L’ordonnée y étant, en effet, nécessairement tangente à la courbe dans les deux points correspondants aux valeurs extrèmes de l’abscisse x, les deux limites y, et y: de y en ces points soût identiques et se confondent.

De même, si les valeurs de z, et z, deviennent égales

entre elles pour y = ÿ; ety = y,, l’avant-dernier terme