AC

de la formule (1) se réduira à zéro, parce que, en vertu

des égalités LE Mi VE Ta | 3: | Z2s FINE 29 »

son champ est nul dans le sens de z. C'est ce qui a lieu lorsque l’intégrale est limitée dans l’espace, ou suivant les trois variables x, y, z, par une surface continue. Car de même que l’ordonnée y devient tangente à la courbe limite, comprise dans le plan xy, aux points déterminés par les valeurs extrèmes de x, l’ordonnée z devient tansente à la surface aux points qui correspondent aux valeurs limites de y; et cette circonstance fait disparaître à la fois les deux derniers termes de la formule (1).

Enfin, si cette condition d'égalité ou de coïncidence des deux limites d’une variable, correspondantes aux valeurs extrêmes de la variable qui précède immédiatement, s'étend à toutes les variables principales x, y, Z,..., 5, t, C'est-à-dire si l’on a y; — y, pourr — x,'et HN 21 2/DoUl y Ji ét Y — y2, elc., et enfin ty —=ts pour s—S$, et s —5,, tous les termes, à l’exception des deux premiers, disparaîtront de la formule (x), et l’on aura simplement

La a Za lo : | j di .. | V.dt...dzdydx x, 0e Z; L

La Ja 22 la = | .. 1! OV.dt...dzdydx X, vY, Vz f L, AE Z, L, + [ 4 1! -] Vodt...dzdydz.

x, op Z; {

C'est ce qui arrive en particulier lorsque l'intégrale multiple s'étend à toutes les valeurs de x, y z,..., t qui

vérifient l'inégalité LT NO

L étant une fonction algébrique entière et de degré pair relativement à toutes les variables. Dans ce cas, en effet, les valeurs extrèmes des variables ou les limites des intésrations successives se déterminent de la manière suivante :

1° La première intégration relative à £ doit s'étendre à toutes les valeurs de cette variable qui, pour un système quelconque de valeurs de x, y, z,..., s, satisfont à l'inégalité L 0. Or comme L, fonction finie et continue de la variable #, ne peut cesser d’être plus petite que zéro, sans devenir égale à zéro, les valeurs extrêmes de t doivent évidemment vérifier l'équation L — o, qui donnera ainsi les limites 7, et £, exprimées en fonctions des variables.x, y, z,..., $, ces premières variables restant encore indéterminées, et les intégrations suivantes devant s'étendre à tous les systèmes de valeurs qu’on peut leur assigner sans que les limites de t, tirées de l’équation L —o, cessent d’être réelles. Mais comme ces deux limites, racines d'une même équation algébrique, ne peuvent évidemment passer du réel à l'imaginaire sans devenir égales entire elles, il en résulie déjà qu’on aura t, = t toutes les fois que l’une quelconque des variables précédentes x, ÿ, Z,..., s atteindra sa valeur limite. C'est au reste ce que nous allons constater directement pour la variable s.

2° La seconde intégration relative à s doit s'étendre à toutes les valeurs de s qui, pour un système quelconque de valeurs des variables précédentes x,.7, z,.4., vérifient l'équation L — 0; les valeurs limites s, et s, seroni donc la plus petite et la plus grande des valeurs que la variable s peut recevoir dans cette équation, lorsqu'on y

VARIATIONS DES INTÉGRALES MULTIPLES. 49 fait varier simultanément s et t. Pour trouver ce minimum ou ce maximum, il faut, comme on le sait, diftérentier l'équation L — o relativement aux variables s et £,

si ris 1e UE À dy, L et faire ensuite 7 — 0» Ce Qui entraînera = — 0, équation qui, jointe à la précédente L — o, déterminera les valeurs limites s, ets, en fonctions de x, RE MTRAT pourvu qu'on ait d’abord éliminé £ entre ces deux équations. Or la valeur de £ qi vérifie à la fois les deux équations

aL Li= Er GES sie

est nécessairement une racine double de la première équaion L = 0; il en résulte que cette équation, qui donne dans tous les cas les limites de t, donne dans ce cas particulier ou lorsque s atteint ses valeurs extrêmes s,, s., sous forme de racine double, deux valeurs égales #, —#,, ainsi que nous l’avions prévu.

Soit L’— 0, l'équation résultant de l'élimination de t

5 6 dL HUE,

entre les équations L — o et Tr = 0; et qui doit fournir les limites de s exprimées en fonctions des variables précédentes x, y, z,...,1, ces variables restant encore indéterminées et les intégrations suivantes devant s'étendre à tous les systèmes de valeurs qu'on peut leur assigner sans que les limites’de s, tirées de l’équation L/— o, cessent d’être réelles. Comme s;, s, ne peuvent pas passer du réel à l'imaginaire sans devenir égales entre elles, on en conclura que s, deviendra égale à s, chaque fois que l’une quelconque des variables précédentes atteindra sa valeur limite. Cette conclusion sera du reste vérifiée en tant qu'il s’agit des valeurs extrêmes de 7 par les considérations suivantes. |

3° Les limites r, et r, de 7, variable de la troisième in-