IV. ñ
pe
Lé
tégration, sont de même la plus petite et la plus grande des valeurs de cette variable qui satisfassent à l’équation L’= 0, lorsqu'on y fait varier simultanément r et s, les variables précédentes x, y, z...., restant quelconques: r, et 7, seront donc déterminées par les deux équations
ou par l’équation L/= 0, que l’on obtiendra en éliminant s. Maïs la valeur de s qui vérifie à la fois les deux équations
dL’ 10;
L'— 0 ? ds
est nécessairement une racine double de la première L’—0o; donc les valeurs de s, et s,, qui correspondent aux valeurs extrèmes de 7, sont égales entre elles.
En continuant de la même manière, on verra que les deux limites d'une variable quelconque se confondent ou deviennent égales entre elles, chaque fois que l’une quelconque des variables qui précèdent, atteint sa valeur extrème.
Dans tout ce qui précède nous avons admis implicite+ ment que chacune des équations L=— 0, L'=o,1/=0,..., n'avait qu'une couple de racines réelles t,, to, s1, 5», m1, l,.... S'il en était autrement et qu'il y eût pour s, par exemple, quatre racines réelles s,, 5, 53, $,, que nous supposerons rangées par ordre de grandeur, on ferait l’intégration relative à s en deux temps, d’abord de s, à s,, puis de s; à s,, c’est-à-dire qu’on partagerait l'intégrale en deux autres; pour chacune de ces dernières intégrales 1l n’y aurait plus que deux valeurs limites de s et l’on prouverait que ces valeurs deviennent égales, lorsque la variable précédente r atteint ses valeurs extrêmes.
Dans lé cas particulier où le champ de lintégrale ne
TU AL ls VARIATIONS DES INTÉGRALES MULTIPLES. J
doit subir aucune déformation, les limites des variables ne devront plus contenir x, leurs variations seront nécessairement nulles, ef la formule (1) se réduira à son
premier terme
4 on) ar " hs il V.dt...dzdydx h Za ls = | “# 5 ct [ 0 V.dt...dzdydx.
VX, dYPue/2, t
27. Les variations des intégrales multiples doivent subir quelquefois des transformations qu'il importe d’indiquer. Lorsque V'renferme la dérivée d’une fonction inconnue &, sa variation 9 V renferme, comme on l’a vu (n° 24), la dérivée de la variation du relative aux mêmes variables ; il pourra donc arriver que, dans le développement de la variation d’une intégrale, du soit différentiée par rapport à une ou plusieurs variables d'intégration. Nous allons montrer comment, par une suite d’intégrations par parties, on peut faire cesser cette anomalie, et arriver à des formules dont on puisse se servir immédiatement dans les applications du calcul des variations.
Soit
déntie. y — drtdy" dr...
une dérivée de u contenue dans l'expression V, cette dé-
rivée amènera dans la variation de V le terme
aN dre Qu
d 9 dx'dy" CL l
et dans la variation de l’intégrale multiple (1), p. 45,
le terme RAI d'ntites Su MA AzdYd:
PE ne 40 dx!dy" dz®. z y dx, dans dns la dérivée de d'u est prise par rapport à des 4,
variables d'intégration. Pour le transformer, posons d’abord dN d'-ientnss es 0 1
Es A) 0 dr der,
a Ya Za do iÉ jé Ji -.. R— ... dzdydx.
dx zx Y a
En appliquant le procédé d’intégration par parties,
il deviendra
exposé n° 19, on développera cette intégrale en une suite de termes dans lesquels les dérivées de w ne seront plus prises par rapport à des variables d'intégration. Lorsque dans ces termes on remettra pour w sa valeur, toutes les dérivées de du prises par rapport à x, et qui devront subir une intégration relative à cette variable, seront au plus de l’ordre Z— x, tandis que les dérivées de du relatives à y, z,..., sur lesquelles porteront des intégrations relatives à ces mêmes variables, seront au plus des ordres m,n,.... Une seconde transformation semblable abaissera à l’ordre / — 2 les dérivées de du prises et intégrées par rapport à x, sans élever les ordres m, n,..., des dérivées prises et intégrées relativement à y, z,.... En procédant ainsi pas à pas, en faisant pour les autres variables de dérivation à la fois et d'intégration ce que l’on a fait pour x, en étendant aux dérivées des autres variations dv, dw,..., les réductions que l’on a fait subir aux dérivées de du, on arrivera enfin à l’expression réduite et définitive de la variation de l'intégrale proposée.
98. 1} suffira d’un exemple pour montrer l’application de ces principes. Prenons l'intégrale triple
dou de pr Le d dxdydz EE
et proposons-nous de la transformer de manière que du
VARIATIONS DES INTÉGRALES MULTIPLES. 53 ne soit plus différentiée et intégrée par rapport à la même variable. En appliquant les formules du n° 21, et effectuant d’abord la réduction relauve à x, on trouve
lé h qe P 5 CRUE =[ Jo "À ne 7 dy ne de œ ou ne er dzdx o É [ RS Le dyda; Se tb fe re L Dire
Dans tous les termes, à l'exception du second, les dérivées de du sont encore prises et intégrées relativement à y, mais une nouvelle transformation donne
\ d'ou AE AO | FR ED) R — dz dyc dz V2 2, 2 dz ddu or d f fi dy Az J dR 7 -f dis + sd OA L
ny k: dz d°0 u j Te fees dz dd u — —— dy = Li : dx dydz J NL LS
Rene Re d?z |dûu pe rt ES cz dy dx in dxdy Pre a} METRE Re dz d'u E — —— dy, LT AYA ATEN
2, LRO dE Ya PER dd à LrAV == Re (ls PEL dx dy y'dz dx. dz Ja Frs dè u ir dy a dx dy HAN [2 l Le d?R ddu ie dxdy dz À
substituant ces valeurs et re de nouveau l’intégration par parties aux termes qui contiennent encore des dérivées de du prises et intégrées relativement à z, on trouve définitivement
RLUENT, | 1 ‘Là fi rs CRE Nb 1 fl JE du. dz
Es 2 É &
1 | deb” À 1
& :[/dkR dzdou\ .
8 R= dy Cr ETS dy de |
: XL, J'a Z: A \ de NU Le 12 d a: (Du R EEE RE ere dx dx dy * dx dz XL, Z \ u / x De ANNEE :
È è 2 d?R + 1 du.dzdy F2 =. dy dz La [da +4 FR l’R lR dy d + f | fs te us c d'R dy c =) Dore Flrire dxdz de dx dy
Pda] | JR L : 1 C'NARERES dR dz ‘dR dz dR dz dz d?z \ dou va (+ due ie dodne Le) WA 1 dz dz RER 4% dx dy dz° \ à À NÉ L72
ASTON fi MANIERE al ) € | drdyd: (Res HECRERES
Qt CG
On ne devra pas oublier que les dérivées
dy dz dz FL
dx’ dx dy” dxdy”
sont des notations purement symboliques qui représentent, soit
dy. dz, dz, ALP
Se Me NO mt, — 5 ——) dx dx dy dxdy soit dy» Hs d'z; A2 rent. ur D be-mnel. , dx dx dy dxdy
selon le signe de substitution qui les affecte.
29. La variation d’une intégrale multiple, (r)p. 45% prend une forme plus simple, lorsqu'on fait usage de certaines fonctions ‘arbitraires Dx, Dy, Dz,..., Dt, que nous définissons de la manière suivante: Dix est une fonction de x qui se réduit à dx, pour x — x, et à dx, pour x — %x:; Dy est une fonction de x, y, qui devient
dy dYi D.
d Yi + 5 D x pour y = y1, et Ya re Dx pour y= 73;
D z est de même une fonction de x, y, z, qui pour z=z,
Z1 dy
; 1 dt dz d af ) se réduit. à d z, + ee Dx + — Dy, et pour z=1,z: à # Æ qu ë
: dz. a. ï LE .
— Dx---"Dy;et ainsi de suite. À 'ces restricse ri M
tions près, les fonctions Dx, Dy, D z,..., sont entière-.
ment arbitraires (*). De la définition même deces fonc
(*) Ces mèmes fonctions se présentent à un autre point de vue comme des variations de x, y, z; c’est pourquoi nous les avons désignées par la
- lettre D.
tions 1l résulte
x, XL a vx —| D% == D x,
Introduites dans la formule {1} {n° 25), ces valeurs lui
font prendre la forme suivante
ee x: Z4 | [ di UNE MASON eyribte/ Et x, 4 3, = J. | RON Cle ii élas ZX, Ji v2z, RTaT:.nE.
+] l ‘ VDe la x z |
dy dz dz dr
7, =, —,... sont des dérivéés symbodx dx dy
liques ayant la même signification qu'auparavant. Cela posé, pour parvenir à la formule plus simple à laquelle nous avons fait allusion, il ne reste plus qu’à faire disparaître les signes de substitution ou à les remplacer par des
de laquelle
ss +
signes d'intégration, en suivant la marche que nous allons indiquer. On a d’abord généralement
el, par conséquent,
LE Æ Z2 | [ h ME Tr sdedy æÆ
1 Vi Z; Æ; d NDŸ 3 Ms Sie pe) J MD rider:
j x, i 3, Mais
ds TC rae à au lIVDx ce MED RE, dzdy — | JRNER #) .. didy dx Le A dx
{ 4 J Z, V2 Z 9 Ë d +] VD nl dz FA dx Ta fs dz + VD x — dy PS À dx
x Ÿ, z ; 2 2 2 d VD = j 1h ia are ... dedyda # pe 5 dx La Ya 3; dy LE ...V— Dx...dzdr dx LIT, 8 Fa foi IE d£ + .V— Dx...drdx ‘ dx € Æ, 1 Z,
el, par suile,
; | 2 ù SV, dre V7, £, x 1) Z.
2 T2 PE: ) (VDzx —= J 1 Ge [2 Vis d( 2) ras TAN dx ÿ Z e a:
x, [l {| Le [Je £a YA LÀ pm" a | J le MD YA EURE ex) 1Y, 3,
s, RUN 0", 6 ne foi aie Lt ha) une lolemet it re /kenr
Le signe de substitution relatif à x a disparu; pour faire disparaître de même le signe de substitution relatif à y, multiplions les deux membres de l’équation
d' PC Ai (WOW) — VD y da DUR CR EE PRE Em s Y dz pe c eZ, Z, w 2% F2 VD dz À Y dy
par dydx, et intégrons par rapport à y et x, entre les limites Y4, Yes Et Li, Lo; il viendra
LI d'a Ze É | if VD y...didx 0 Ti Zi
rites e dore te Mate le DPI) ANT el re NER ER
Cette valeur substituée dans la variation de l'intégrale lui
Fe
4 SE nn 2 à # A à | 2 L a VARIATIONS DES INTÉGRALES, MULTIPLES 29 fait prendre la forme de nd M EU à Z, d(VDzx) d(VDr) SV + AUDE HA tes = |: dedydr dx 4 2 RS 1 .dydx e
DIS IA PR soeur nan ts eo tue is M nd ei «PCR DS). 66
qui ne renferme plus de substitution relative à y. Une troisième transformation tout à fait semblable fera disparaître de même le signe de substitution relauf à z; et en procédant ainsi on obtiendra définitivement
Le Ja Za (2) ‘| | à HN Azdyar = %4 Yi Z, T; J': Z: L \ INT : : d(VDx l(VD {{VD2) an UN a 2 iNDyNn ever .. dédydx, 6 : * dx dy dz :
formule trouvée d’abord par M. Ostrogradsky (*). Quoique elle présente sous une forme très-simple et trèssymétrique la variation complète d’une intégrale mul- . LE] , L nl
tiple, cette formule a linconvénient de renfermer les dérivées de plusieurs variations prises par rapport aux variables d'intégration. Avant de l'appliquer, il faudrait donc faire cesser cet inconvénient à l’aide de lintégra-
(*) Dans les Comptes rendus de l Académie des Sciences, Paris, 1860, t. L, p.55, M. Lindelœæf a donné de cette mème formule une démonstration directe et très-simple, fondée sur un changement de variables indépendantes, mais qui par cela mème ne convient qu'au cas particulier où le champ de l’intégrale est limité d’une manière continue dans le sens de toutes les variables. h”
6o CALCUL DES VARIATIONS.
tion par parties (n° 18); or si l’on commençait par réduire les dérivées de ..., Dz, Dy, Dx, ce serait précisément suivre une marche inverse de celle qui vient de conduire à la formule (2), et revenir à l’équation (1) d’où l’on est parti. Celle-ci, par conséquent, est plus directement applicable, et c’est la seule dont nous ferons usage désormais. |
30. La variation d’une expression définie quelconque S s'obtient exactement de la même manière que celle d’une intégrale définie. Appliquant la règle du n° 14, on prendra d’abord la dérivée de S par rapport à +, en supposant ce paramètre contenu dans toutes les fonctions variables de forme, et on donnera au paramètre + la valeur particulière x,, ce qui revient à remplacer les dérivées relatives à 4 par des variations correspondantes. On aura, par exemple, en comprenant toujours les valeurs limites des variables parmi les fonctions qui changent de forme avec ,
Î Vix.dz.
VARIATIONS DES EXPRESSIONS DÉFINIES. 61 Quand on aura décomposé les signes de substitution double en signes de substitution simple, on donnera aux variations symboliques dx, dy, dz leurs significations réelles dæ,, 071, d 21, Ou dX2, dY2, 0 z:, conformément aux conventions admises. La seconde formule, par exemple, ainsi développée devient |
Vraie Po D) yied Yo. AL — FES SCT
Nous n’avons pas besoin d'ajouter que la variation d’une expression définie quelconque se prèêtera à toutes les réductions que nous avons fait subir aux variations des intégrales définies, et que ces réductions s’eflectueront dans tous les cas suivant la règle déjà formulée (n° 27).
31. On trouvera de mème les variations seconde, troisième, etc., d’une intégrale ou plus généralement d’une expression définie quelconque, en la différentiant plusieurs fois de suite par rapport au paramètre 4x, comme on l’a indiqué dans la deuxième leçon, et l’on amènera les variations obtenues à la forme qu'exige leur application immédiate, par le procédé sullisamment expliqué de l'intégration par parties.
Mais il est témps de montrer par quelques exemples, choisis parmi ceux qui se présentent le plus souvent, comment on procédera dans chaque cas particulier à l'application des principes généraux que nous avons posés et des règles que nous avons énoncées.
