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et par suite, en substituant,
TL j |
À À ; % 2 dèv d'à \ 2 } ÿs — RP api ua J biVou ; dx LD")
x, À expression qu'il s’agit de transformer de telle sorte que les dérivées de d'y ne soient plus affectées d'intégration. En appliquant le procédé de l'intégration par parties
{n° 49, 27), on trouve
Par une seule réduction
Ta 19 y À La LP, 1} P, . En Pdy ie que dax;
par deux réductions successives
RT; À La nr | - | CHE FT EE Re x de, sk: dar) ddr x, a P, do y LL dep; \ tra Fe DEN rate pre ÿ; } nA ©) du P ce "0y.dr dx’
Ib Los OA Re TOR PR
dx dx? dx teur ; IP, {2 à dt (P)=P; = DR 6 ER + (— LU Le :
da dx? dx" lp pue ce "A Le CE
dx \ dr"?
la variation de l'intégrale deviendra
+] Vox, -| Von.
El importe de remarquer que cette variation se compose de trois parties essentiellement distinctes les unes des autres, à savoir : 1° l’intégrale
J (P)0y.dx dont la valeur dépend de la forme attribuée à la variauion dy; 2° l’expression LT (P }8y (P ) CAB ‘ P 4 ddr] ROSE E Pre CAC ( nan |?
Ur
qui ne dépend pas de cette forme en général, mais seulement des valeurs que dy et ses dérivées successives jusqu’à l’ordre 7 1, inclusivement, prennent aux limites de l'intégrale, c’est-à dire pour x = x, et x — 22; 3° les
La Xi | via] Vox,
qui dépendent de la seule variation des limites.
deux termes
33. Entre les valeurs limites des variations et les variations des valeurs limites de y, 7’, y”/,....11 ya certaines relations très-simpies qui permettent d'exprimer
VARIATIONS DES INTÉGRALES SIMPLES. 6 les unes au moyen des autres. Si l’on prend, en effet, la variation des expressions définies
T, La XL, Le x, La l, l. L >. hr | y | PAR ERS
on trouve (n° 30)
{ Æ4 NE? La La Le] r=| (dy + y'dx), | Y | (dr +r'dx),
x, x, PA X 3 (2) o| r=| (dy + 7"da), | s ] (3y"+y"0æ),
%, », La La o| =] (dy” + y"9 x) : | =] (dy"+y"dx),
D'RCECOLIIONCES ONLY ECE MON DCE ET IS LORS EN ERNE €
En appelant, pour simplifier, £, n, n’, n”,... les valeurs de x, y, y, y’,... qui correspondent à l’une des limites de l’intégrale, ou à l’une des extrémités de la courbe plane dont x, y sont les coordonnées, on pourra remplacer ces deux systèmes d'équations par le système unique
dn — Jdy s® n’ dE,
On — 19» al n70Ë
On” = dy" + 9/06,
dans lequel le signe | indique la substitution simple de la limite de x que l’on considère. Il en résulte, en
: : a ; dd y transposant et ayant égard aux identités dy = —=,
