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l Î dy — On — n'dË,

0) | = dn/— n°06,

(3) dx d5 à

e jones rie ds nés lets se es tr

Ces relations font voir que dans le cas où la valeur limite £ de x est invariable, de sorte que dË —o, les valeurs dy d'y

limites correspondantes de dy, >... coïncident

dx ? dx avec les variations des valeurs limites », »”, /,..., de Vs 9% 7/-....Donc, si ces dernières variations étaient nulles en même temps que d£, pour les deux limites de l'intégrale, c’est-à-dire si les valeurs extrêmes de TL, Va Vs V',e..7 "T9 ne devaient point varier ou chandd y da 18 y dx "7 dr

seraient également nulles, et la variation de l'intégrale (2)

ser de forme, les valeurs limites de dy,

se réduirait à son premier terme

no [ (P)ôr.dr.

34. Si Vdx était une différentielle exacte, ou, en d’autres termes, si V contenait la variable x et les fonctions y, 7’; Y’,.--, 70 de telle manière qu’on püt obtenir l'intégrale f Vdx, indépendamment de toute forme particulière assignée à la fonction y, cette intégrale serait elle-mème une fonction déterminée de x, y, y, y/,.., 7-1); prise entre leslimites x, x2,elle ne dépendrait done que de ces mêmes limites et des valeurs correspondantes

de y, 7', 3",..., 771), et elle resterait constante quand

même on ferait varier arbitrairement la forme de la fonction y, pourvu que les valeurs limites de x,y,7',y/,..., y("71) restassent invariables; sa variation serait donc d A c Û \ \

nulle, quelle que fût la variation dy.Or, dans le cas où les valeurs limites de x, y,y ,7”,..., y" ne varient point, on a vu que la variation de l'intégrale se réduit au seul

terme FA LA “à (PP . dx;

ce terme devrait donc s’évanouir quel que fut dy, ce qui évidemment est impossible, à moins qu’on n’ait identiquement (P) = 0. Réciproquement, si cette condition est remplie, la variation de l'intégrale ne dépendra que des variations des valeurs limites de x, y, y’,..., 779; l’intésrale définie sera donc elle-même une fonction déterminée de ces limites, c’est-à-dire que l'expression Vdx pourra s'intégrer immédiatement, quelle que soit la foncion y. Pour que Véx soit une différentielle exacte, il faut donc et il suffit que l'équation (P) — o, ou