PACA N ES RS OU

UE à use DS dx dx? dx"

soit identique, quelque forme qu'on assigne à la foncton y.

Le calcul des variations conduit aïnsi très-simplement à la condition d’intégrabilité connue d’une expression différentielle Vax.

35. Dans toutes les applications du calcul des variations aux intégrales simples, c'est toujours l'expression

dP, an ( es PEN M (P) dx dx"

qui joue le rôle principal; il importe donc de l’étudier de

plus près. Elle renferme, en général, les dérivées successives de y jusqu’à l’ordre 2», puisque V et ses dérivées partielles P, P;, P,,...,"P, sont des fonctions de TL, YsY59/3:e, Y0. Dans un seul cas cependant elle n'atteindra pas l'ordre 2n; c’est lorsque V, étant linéaire par rapport à y(”}, prendra la forme

V = Arr LB.

À et B étant des fonctionside:x, y, Vi , VIN); Dansiee cas, en effet, la dérivée partielle P, — À ne contenant plus MER Te A ; ; à

y, sadérivéen""—" et par suite l'expression (P) ne saurait plus contenir y”). On démontre même facilement qu'alors l'ordre des dérivées de y dans cette dernière expression n’excédera pas 2 7-— 2 ou que (P) ne renfermera pas la dérivée y". Cette dérivée ne pourrait, en effet, figurer que dans les deux derniers termes de (P) ou dans la différence

1 Loue à AAA 4 EL

A den

Or, si l’on différentie 7 — 1 fois de suite par rapport à x la quantité P,,, fonction explicite de x, y,17/2226007000ie seul terme du résultat qui puisse contenir la dérivée 7%"), sera évidemment

dPa yO27-A) « dy) © ;

de mème, si l’on différentie z fois de suite la quantité P