LP) 40, (Q

l'elles sont donc, dans le cas actuel, les conditions d'intégrabilité de l'expression différentielle Vdx.

39. Prosième I. — Soit z une fonction de x, y, à Jormesvariable, et p, q, r,s, t ses dérivées partielles du premier et du second ordre; soit de plus

Het LE be | | V dy dx, RE 5

les He étant censées variables,

VARIATIONS DES INTÉGRALES DOUBLES. 73 Désignons respectivement par N, P, Q, KR, S, T les

dérivées parüelles de V relatives à z, p, q,r,s, t, en sorte

que l’on aît

dV dV

dV dNV AE dV dz ra dp

re — F) HER CHA

dr ds

la variation de V sera (n° 24)

ddz doz R d?dz d?9z y d°? dz an Pre dx nt dxdy trs

et celle de U (n° 25)

OV—Noûz+P

NL; PT

[ doi: ddz JU — | | Nds+P + Q — [#4 x, €’ 7e \ dx dy 2, d?02 d?9 z d2d 3" HS RER Eee "M dx? xdy dy?

Las [F3 4 de À ne, PNR vec À 7 X; Ji

expression qu'il s’agit de transformer, en recourant à l’intégration par parties, de telle sorte que la variation dz ne soit plus différentiée par rapport aux variables d’intégration (n° 27). Cette transformation se fait immédiatement pour les deux termes qui contiennent les dérivées de dz du premier ordre, car on a

La d'a 10 La Fa as Æ d &ozZ + 3 1h 1 perde] il: psg | | P d $3.dx Ctleir dx CALE ROUE dx

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Chacun des trois termes qui contiennent les dérivées du second ordre de la variation 9 z, exige, au contraire, deux

séries d'opérations. Pour celui, par exemple, qui contient d?0z dx?

» on a d’abord

RM de l’0z “sa fade | 1 2 | | R dy Jr, Jr dx UP dx EAN LA FR: 4 Z ns f “A dé . dx L'EAU Pa DrV AT

puis, en appliquant de nouveau aux deux derniers termes l'intégration par parties,

ra x, Vs x LA ré oz 1) 08 | R dr — R © 92 fa. dx dx Ë d { 1

y, ax

L BE 2 Eu 5 l 2 Es | (RS PE) ddr

dx?" dx dx dy da’

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4 9 Lo De *dR ddz . *dR ie -dyd& = mn. 02z.dy DU da ie >. dx ;

vs Vo (CN ER tee | | CANIN EE à:

JET dx? ï

VARIATIONS DES INTÉGRALES DOUBLES. 79 et par suite, en substituant, 7 XL. 2%: 120 1° R ÿ i € | | Re - dy dx Er. ge —— d2.dy dx x, V7, QU è A7. IR DATIAR + Fe ne : ARE rm CR dz.dx dx! dx dx dy dx?

Ÿ dy? do z ne | a l &e/ L HS 9 day x. VA : RUAGTR: 10 z -| j (E 02-—hR : ) dy c, dr, dx dx LT est LE | | RY 5z x, br. dx On trouvera de même successivement AC a Y “ 2) | : (Ts dôz | fan gs S dy dx — | z | 44 dxdy WE AP A AT AT Gad "2P:/4$ dy dd “os AP AN l # dx dx d

Substituant enfin aux divers termes de la variation dU les valeurs transformées fournies par les développements

qui mo on aura définitivement

TE (HF ARLES na d? ie | PA )o. D TT ardy dy?

Fe { n Y dR dy + Le Las [ à. san DT a : dx dx

dR dy? ds —

0z.dx

40. Arrètons-nous quelques instants à cette formule pour mieux discerner la nature et la portée de ses différents termes. Si x, y, z représentent les coordonnées rectilignes d’un point dans l’espace, l’équation y = y, déterminera une certaine courbe AC (fig. 1), située dans le plan

XY 3 Y = 9 sera l'équation d’une seconde courbe BD; de

Pas KR:

VARIATIONS DES INTÉGRALES DOUBLES. 7 mème les équations x = x et x = x, représentent deux droites AB et CD parallèles à l’axe des 7, et la surface ABDC comprise entre ces quatre lignes est précisément le champ de l’intégrale double. Cela posé, pour obtenir une expression de.la forme

La [Ja 6 | Zdzx, PNUAT