OS À

qui se décompose en

Lx IT: RIT TR:

J | Z dx — | Zur ds X,

Z, étant une fonction quelconque de x et y, il faut faire tour à tour dans cette fonction y —Y:, y = Yÿ», et intégrer Zdx, après la substitution, entre les limites x, et x, ; ce qui revient de fait à intégrer Zdx le long des deux courbes BD et AC et à prendre la différence des deux résultats.

De même pour calculer l'expression

x; Ja | 16 Z dy, 3,5 $4

LANDE Tes Pe | | Z dy | l Zdy, hi:

il faudra intégrer Zdy le long des deuxdroïtes CD, AB et prendre la différence des résultats. Enfin, toute expression de la forme

La [Ya ZX; [Ya LS VIT BIXh 173 CON EE De 7):

æe re

est la somme ou la différence des valeurs de la foncüon Z

correspondantes aux quatre sommets À, B, €, D, du contour limite.

Dés lors l’ensemble des termes de la variation OÙ se partage en trois groupes distincts :

1° Une intégrale double qui dépend de la forme attri-

buée à la fonction arbitraire dz;

2% Des termes qui ne dépendent plus de la forme générale de dz, mais uniquement des valeurs que cette varia-

doz dôoz ù ll vas 2e ARC e long

tion et ses dérivées partielles

du contour limite ABDC ;:

3° Des termes en dx, dxe, dY1, dY+, qui proviennent de la déformation des limites.

Dans les termes du second groupe on pourrait encore remplacer les valeurs limites des variations par les variations des valeurs limites, en partant des relations

simples (n° 30)

4 MA MATE dz did) de dz+ | — dr HER | | F (S+S ) Aer) dy » |

On verrait alors immédiatement que siles limites des intégrations ainsi que les valeurs de z, p, q correspon-

dantes à ces limites ne varient pas ou ne changent pas de

à TR , IEUN % dés s4d8%x forme. la variation Ôdz et ses dérivées s — seront ? dx dy

nulles le long du contour ABDC, et que par suite la variation de l'intégrale se réduira à son premier terme

%, Ja

eA El dR RAD RL UdIS, IT

| Pr ir — + = )02.dydr.

; Î 6 dx dy Ve dx? ji dxdy É À | k

1. On déduit facilement de ce qui précède la condition d’intégrabilité d’une expression différentielle Vdydx à deux variables indépendantes. En effet, s’il était possible d'intégrer eette expression une première fois sans

donner à z aucune forme particulière, ou de réduire l’intégrale définie double

2X, PT | U-=— j; jh Vdydr

à une intégrale simple prise le long du contour limite ABDC, U ne dépendrait plus de la forme générale de z, mais seulement des valeurs que z, p, 4 prennent sur ce contour. Donc, si les limites de x, y et les valeurs correspondantes de z, p, g ne devaient pas subir de déformation, l'intégrale U serait constante et sa variation nulle, quel que füt d’ailleurs d z. Mais dans ce cas la variation de l’intégrale se réduit, comme on. l’a vu, à son premier terme, et celui-ci ne peut être nul, quel que soit dz, à moins que l’on n’ait identiquement, et pour toutes les formes de z,

dP dQ dr d?sS d?T se VEN nel à AR dx dy dx? dxdy dy: