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telle est donc la condition d’intégrabilité cherchée. Pour que l'équation Q — 0 ait lieu quelle que soit la

forme de z, il est d’abord nécessaire que les coeflicients des dérivées de z du quatrième ordre, dérivées qui entrent évidemment sous forme linéaire dans le seul trinôme d?R 1:5 F5 AE 1 SR EAN.

di EP Écparette ut 0) dévelo t ET PE it séparément. Or en déve an — Le isparaissent séparé a pp ei PS, À AT RE ARR x ——, et n’écrivant que les termes qui contiennent les déridy?

vées de z du quatrième ordre, on à d’'R d?V d'z d?V diz PEN T € hein a © ————— + ——— ———; dx? dre dr drds dx*dy drdt dx? dy?

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loutant et égalant à zéro les coefficients de — ; ——— À) 8 A dr dy”

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0 d?V dV d?N De TR BE N ET À 7 (7) | ŒY : d?Y \ dal SM HET Ne

équations aux dérivées partielles qui suflisent pour déterminer V en fonction de r, s, t. En eflet, la seconde et la

k : + SAI ; quatrième exigent que la dérivée ue dépende nide r, a

ni de £, ou que des trois quantités r, s, t, elle ne renferme plus que s; par suite on peut poser

intégrant et ajoutant une fonction arbitraire de r, t,.on a donc | V=g(r 4) + (s).

La première et la dernière des équations (7) exigent en outre que soit indépendant de r' et e indépendant de t; o(r, t) doit donc être une fonction linéaire tant par rapport à r que par rapport à t, C'est-à-dire qu'on aura

p(r,t)=Art+Br+Dit+F.

Enfin la troisième des équations (5), devenue f'{s) +34 —o, donne par deux intégrations successives Ÿ (s) = — As +92Cs+G; d’où il résulte définitivement (8) V—A(rt—s)+Br+20s+Di4E,

A, B, C, D, E étant des fonctions de x, y, z, p, q. Telle est la forme que V doit avoir par rapport à r,s, 1, pour que l’intégrale double U puisse.se réduire immédiatement à une intégrale simple. Il faut en outre que les coeflicients À, B,C, D,E satisfassent à certaines relations qu’on trouverait facilement par la condition même que {2 doit s’évanouir quelle que soit la fonction z et ses dérivées successives ; mais nous croyons inutile de les développer ici (*). Il nous suflira pour le moment de montrer que la forme (8) fait disparaitre avec les dérivées de z du quatrième ordre, celles aussi du troisième, en sorte que Q ne contienne plus

(*) Voyez An elementary Treatise on the calculus of variations, de Jellett, p. 344, où cette matière se trouve développée avec plus de détail.