IV

que x», Y, 2, P+ q, r, 5, t. Cétte fonction, en effet, peut

se mettre sous Ja forme

4 dx \ dx 2 dy | dy \4y 2 dx Or on irouve Put A dB dC dD dE N=(r—s)= Re 250 cup ME mL TA dB d€C dD dE PET P ES) or PDT dp dp dp dp dp .\ d'A dB dE db dE Mgr ie dre de. Mer al R—=At+B, S——2As+2C, T= Ar+D, et, en différentiant, NE ce dx dx dy? dx dz dp dq & dB dB dB dB de td PT tn 1 dS d?z d'A d'A d'A d'A — — = — À — $ | — 4 — $ — t DO dxdy? (e da dp dq dG d'€C 4C;. .4C dy du 7, | 4 ,dq Si l’on fait, pour abréger, AU A d'A d€C dD PURE are d'A l'A dC dB KR = + — 9 — — — ——;3 dy dz dp dq

il viendra donc, en omettant les termes d’ordre inférieur

au second,

Hté—Ks;

.. KRr— Hs;

VARIATIONS DES INTÉGRALES DOUBLES. 83 et, par conséquent, les seuls termes de Q qui pourraient contenir des dérivées de z du troisième ordre seront

d BA Rai a Ur Hs);

mais ici ces dérivées disparaissent, parce qu’elles sont affectées de coeflicients égaux et de signes contraires. Il est donc bien prouvé que la disparition des dérivées du quatrième ordre entraîne celle des dérivées du troisième, et que, dans le cas où V prend la forme (8), l'expression Q

ne contient plus que les dérivées de z du premier et du second ordre.

49, Considérons maintenant le cas où V étant de la forme

V nr (ns DÉRETY LE q) ne renferme plus les dérivées de z du second ordre; en

conservant les notations des numéros précédents, nous aurons LE Le pe AO VE

et la variation de l'intégrale (16) deviendra

| Poe | D) [ | Vdydx e CS Æ, Ts 1 P l = | J (NT À teurs 4 à dx dy

Si les limites x,, x:, y1, 2 ne varient pas, les deux derniers termes disparaîtront; il en sera de même du second et du troisième terme, si, en outre, les valeurs limites de z restent invariables.

Le trinôme

coeflicient de 9 z dans le premier terme, est généralement du second ordre par rapport aux dérivées de z, c'est-àdire qu’il renferme x, y, 2, p, g,r,s,t. Pour qu'il cesse de renfermer les dérivées du second ordre r, s, t, il faut qu'on ait d?V d?V d?V nl Gpdn aie HE ONE

d’où l'on tire, en intégrant, V=AprBg C,

À, B, C étant des fonctions quelconques de x, y, z. On prouverait sans peine que celte forme linéaire de V fait disparaître en même temps les dérivées de z du premier ordre et que {2 devient dans ce cas

Si les coeflicients À, B, C étaient tels, qu’on eut identique-

ment

( serait nul pour toutes les formes de z; la variation de l'intégrale ne dépendrait plus que des variations des valeurs limites de x, y, z; l'intégrale double serait donc elle-même une fonction déterminée de ces valeurs limites et se réduirait à une intégrale simple.

43. Prose IV.— Soit u une fonction de x, y, z à forme variable, et p, q, r ses dérivées partielles du pre-

mier ordre; soit de plus EN ES AE TRACE Fr)

et cherchons la variation de l'intégrale définie triple

Ma Te Ze U = | 1: ch Vdzdydz, 4 SA 3:

les limites X1, X2, Yi, Vas 71, Z2 pouvant elles-mêmes subir des déformations.

Désignons respectivement par N, P, Q, R les dérivées ° T e \ partielles de V relatives à u, p, q, r, en sorte que

A" AV dV dNV

3 4 Q 3 ee —, du dp dq dr

la variation de V sera

dd u dd u ddu

et celle de l'intégrale (n° 25)

dUR—=

UN MAPUÉ dou 1 10 f di J (nou+r : 0 Séini *) dzdydx Dé dy: ds, dx dy dz

La Ya [Ze CES IT 332 sf LL | Vds. dy dx + | | fe Vdy.d:dx XL 314 31 VL Ji V2, 2e Ja LE +] k ji Vdx.dzdy.

; Sr Zi

Après qu'on a effectué toutes les intégrations par par-

lies nécessaires pour que 03 ne soit plus différentiée par rapport aux variables d'intégration, la variation de l’inté-

srale prend Fa forme définitive

ax. RAT à ELA Î ; ; 1P [Q IR | SU = | | J fn DITES ANNEREN ) du. dzdydx Ja bal de Re Le

1 4 1 Æ. AT; 1Z: - £ hf dz 12 E ASE + R—P———Q— }ôu.dydx x, y, be, dx dy

Le [T3 Fe + [ | ‘ (or) 30 dzdz

+] | | Vdx. dzdy.

| X, eY, 2,

Cette formule donne lieu à des remarques analogues à celles que nous avons faites précédemment sur la nature et la portée des termes de la variation d’une intégrale double. Si x, y, z désignent les coordonnées rectilignes d'un point dans l’espace, le champ de lintégrale ea sera limité : 1° en bas et en haut, dans le sens des z, par deux Re courbes C, et C; déterminées par les équations z== Z,et 3 — 2,5; 2° en avant et en arrière, dans le sens des y, par deux surfaces cylindriques B, et B, per- DORE au plan xy et ayant pour équations y = y:

et y = 723 3° à gauche et à droite, dans le sens des x, par deux plans À, et A, en le a à l'axe des x et déterminées par les équations x = x, et x = x,. Cela posé, l'intégrale triple qui forme le premier terme de la variaion JU s’étendra à toutes les valeurs de x, y, z, comprises entre les six surfaces limites À,, À,, B:, Bo, Ci, Co, tandis que Îes intégrales doubles avec un signe de substi-

tution qui constituent les autres termes, ne s’étendront qu'aux valeurs de x, y, z correspondantes à ces-mêmes surfaces limites, ou seront, prises suivant les aires de ces surfaces, ff[suivant C, et C:, f[/f suivant B, et B;, [ff suivant À, et À..

On voit donc que la variation complète de lintégrale U contient trois espèces de termes de nature différente : 1° une intégrale triple qui dépend de la forme attribuée à la fonction arbitraire du; 2° différents termes qui ne dépendent pas de la forme générale de du, mais uniquement des valeurs que cette fonction prend sur les surfaces limites A,, A,, B;, B:, Ci, C:; 3° des termes qui, provenant de la déformation des limites, ne dépendent que des variations d Xi, dLos O Vis 0 Vas su CPE

4%. Ici encore les valeurs limites de la variation d« pourraient s'exprimer au moyen des variations des valeurs limites de u, et l’on verrait, dans le cas où les limites de l'intégrale ainsi que Îes valeurs correspondantes de w, ne doivent pas varier ou changer de forme, que tous les termes aux limites disparaissent de la variation de l’intégrale ; celle-ci alors est réduite à son premier terme et

[P l tR PLU Ut (RE T -} an. dzdydx.

ja Le dy dz

Si l’on avait identiquement

lon a

dP dQ d'R

l'intégrale triple U ne dépendant plus de la forme de & en général, mais seulement de ses valeurs limites, serait nécessairement réductible à une intégrale double. Mais l'équation @— o ne sera identique qu'autant que V sera

une fonction linéaire de p, q, r de la forme V—=Ap+Bqg+Cr—-D,

les fonctions A, B, C, D ne contenant que x, y, z, u,et

étant liées entre elles par la relation

LAB LdC aD MD ED

Telle est donc la forme que V doit avoir pour remplir la condition d'intégrabilité exprimée par l’équation Q = o. Ajoutons que dans l'expression @, les dérivées de w du premier ordre disparaissent toujours en même temps que celles du second ordre, et que cela a lieu toutes les fois que V prend la forme linéaire Ap + Bq + Cr D,

quels que soïent d'ailleurs les coefficients A, B, CD