CINQUIÈME LECON

Maxima et minima des intégrales et en général des expressions définies. — Maximum ou minimum absolu. — Maximum ou minimum relatif. — Diversès espèces de conditions ou de restrictions. — Équations auxquelles doivent satisfaire les fonctions inconnues pour rendre nulle la variation de l'intégrale ou de l’expression définie,

45. Dans les questions de maxima et de minima qui dépendent du calcul des variations, on cherche à déterminer la forme d’une ou de plusieurs fonctions inconnues, contenues dans une intégrale définie soit simple, soit multiple, ou, plus généralement, dans une expression définie, de manière que cette intégrale ou cette expression définie atieigne sa plus grande ou sa plus petite valeur. Entre ces questions et les problèmes de maxima et minima qu on sait résoudre par le calcul différentiel, il y a donc une différence essentielle : dans ces derniers problèmes on cherche les valeurs des variables indépendantes qui rendent maximum où minimum une fonction dont la forme est donnée, tandis que dans le calcul des variations on cherche la forme mème de la fonction ou la relation générale qui la lie aux variables indépendantes. Cependant ce second problème se ramène facilementau premier, et voici comment :

Concevons pour un ioment qu'on ait déjà déterminé convenablement toutes les fonctions inconnues, et qu'on les fasse ensuite varier au moyen d'un paramètre arbitraire z ; soit 4, la valeur initiale de x correspondante aux

formes de ces fonctions qui donnent à l'intégrale sa plus grande ou plus petite valeur. L'intégrale ou l'expression définie sera alors elle-même une fonction de +; pour qu'elle devienne réellement un maximum ou un minimum pour 4 = %o, il faut donc que sa dérivée par rapport à x s'évanouisse pour x — z,, sans que cette valeur du paramètre z rende nulle la dérivée du second ordre, doni le signe servira à distinguer le maximum du minimum. Pour mieux fixer les idées, désignons par V une expression qui renferme explicitement non-seulement Îles variables x, y, z,..., mais une ou plusieurs fonctions inconnues u, V, w,... de ces variables, et supposons qu'il s’agisse de déterminer les fonctions u, v, w,... ainsi que les limites x,, de, V1, Ye, Z1 22, . . , de manière que

l'intégrale Le Ie hs Si Î J ki NN .drdydx PET F 3;

devienue un maximum ou un minimum. D’après ce que nous venons de dire, on peut supposer que les inconnues u, V, W,..., ainsi que les limites de l'intégrale, dépendent toutes d'un paramètre arbitraire x, et qu’il faille trouver la valeur x, de ce paramètre qui fasse acquérim à l'intégrale S sa plus grande on sa plus petite valeur. Puisque, dans cetie hypothèse, l'intégrale S est elle-même fonction de 4, la première condition du maximum ou

(A ds | Ce taf 6 dx

ou bien, en nous servant de la notation adoptée dans le

du mini mum sera

calcul des variations, ( 1) CD EE /04

Ainsi l'intégrale S ne pourra devenir un maximum ou

un minimum qu’autant que l’on donnera aux fonctions inconnues qu'il s’agit de déterminer des valeurs ou des formes telles, que la variation de l'intégrale s’évanouisse, quelques déformations que l’on fasse subir à ces mêmes fonctions, ou de quelque manière qu’on les fasse varier avec le paramètre x, à partir des valeurs ou des formes primitives dont il s’agit. Il faut en outre que la variation seconde dS, pour toutes les déformations possibles, reste constamment soit positive, soit négative, sans devenir uulle, la valeur positive correspondant au minimum et la valeur négative au maximum de l'intégrale S. Quelquefois la condition 98 — peut aussi donner une solution du problème. Dans le cas, par exemple, où l’on cherche le maximum ou le minimum de l'intégrale

1e es [f(x)F.dr,

la condition dS — o donnerait y — 0, valeur inadmissible, puisqu'elle rend l'intégrale imaginaire, tandis que la condition 9S— donne y = + f(x), valeur qui correspond évidemment à un véritable minimum de l’intégrale. Si nous ne tenons pas compte de ces solutions singulières correspondantes à une valeur infinie de la variation d5, c'est qu'elles ne se présentent pas dans les

L applications ordinaires.