Lorsque les inconnues x, 2, a 610 PR QUES AR

ne sont assujetlies à aucune restriction particulière, c’est-

àa-dire lorsqu'on cherche le maximum ou le minimum absolu de l'intégrale 8, les variations

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contenues dans 95, sont toutes complétemeni arbitraires, + 47 A L 4 . . ° et | équation dS — o doit subsister quelles que soient les

valeurs ou les formes qu’on leur atiribue. Seulement on se rappellera que, par leur définition même, ces variations ne sauraient Jamais contenir d’autres variables que celles qui entrent respectivement dans les fonctions

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dans le cas actuel, dx,, dx, seront donc des constantes arbitraires; dy;, dy, des fonctions arbitraires de x; dz:, Oz, des fonctions arbitraires de x, y; etc., et du, dv, dw,... des fonctions arbitraires de toutes les variables principales x, y, z,..., t.

Mais le plus souvent la nature mème du problème établit certaines conditions auxquelles doivent satisfaire les fonctions inconnues, de sorte queleurs variations ne sont plus entièrement arbitraires ou indépendantes les unes des autres. On ramène ce second cas au premier, soit en faisant servir les équations de condition à l'élimination du plus grand nombre possible de variations, soit en introduisant de nouvelles inconnues, constantes ou variables, dont on puisse disposer à la fin du calcul pour satisfaire aux couditions du problème. Par cette éliminaon ou cette introduction de nouvelles inconnues, les variations qui entrent dans l'équation 0S = o transformée redeviennent arbitraires et indépendantes les unes des autres.

Les conditions auxquelles on doit satisfaire dans Ja recherche des maxima et des minima relatifs sont de trois espèces : 1° des relations finies entre les diverses fonctions inconnues ou enire leurs valeurs limites; 2° des valeurs constantes imposées à certaines intégrales ou à certaines expressions définies; 3° l'obligation de vérifier certaines équations différentielles ou aux dérivées partielles, Nous allons considérer suecessivement ces trois espèces de conditions,