Toute relation finie de la forme (2) D IS SPA, à

qui doit subsister dans l'étendue entière de l’intégrale proposée, détermine l’une des inconnues u, v, 5,... en fonctions des autres, et peut servir à l’éliminer de l’intégrale S toutes les fois qu’on sait résoudre l'équation F — 0. Mais alors même que cette résolution est impossible, la relation donnée conduit toujours à une équation linéaire entre les variatiôns du, dv, 0w,... au moyen de laquelle on peut en tout cas éliminer l’une de ces variations de l'équation 98 — o. En effet, si l’on prend la variation de F — 0, on trouvera dF — 0, ou (3) du dpt dw+,. —o.

Pour qu'on puisse mettre à profit cette dernière relauon, il n’est pas même nécessaire que la fonction F soit donnée en termes finis; il sufhirait évidemment de connaître sa différentielle totale ou seulement ses dérivées partielles relatives à u, v, W,....

Si les fonctions inconnues étaient assujetties à vérifier plusieurs conditions semblables

Fi 04 Bio: Frssosa on aurait

DFE O MIO Er =ETOS OP EO EL eus

équations dont on pourrait disposer pour éliminer un nômbre de variations du, dv, dar, : égal à celui des conditions données.

Si la relation F —o ne devait pas avoir lieu dans l'étendue entière de l'intégrale S, mais seulement à la limite de l’une des variables, par exemple, à la limite

inférieure de z, de sorte qu’on eût

(4) | FEXSs N, 20. not, PNR

elle ne suflirait plus à l’élimination complète de l’une des foncüons u, v, w,..., ou de l’une des variations du, dv, dw,..., mais elle fournirait toujours une relation linéaire entre les valeurs de ces variations correspondantes à la limite dont il s’agit et la variation d z, de cette limite, relation dont on pourrait disposer encore pour éliminer soit dz,, soil la valeur limite de l’une des variations du, dv, 04w,.... En prenant la variation des deux membres de l'équation (4), on trouvera, en effet,

: JE | (or+ To) 0 ; dEz Î

; dE ou. en développant dF et — 4 LE dz 4

FAR dE dE dFEdu dE de ; 0): SAN TEEN | Ir + +... =

Il est inutile de rappeler que dz, ou la variation symbolique de la variable indépendanie z, représente ici dz,, ou la variation de la limite inférieure de z, en raison du signe de substitution qui l’affecte.

S'agit-il, par exemple, de déterminer la forme d’une courbe plane; jouissant d'une certaine propriété de maximum ou dé minimum, et dont l'extrémité, correspondante à la limite inférieure de +, est assujettie à se trouver sur une ligne donnée par l'équation y — f(x), la fonction inconnue y devant satisfaire à la condition *

THÉORIE DES MAXIMA ET DES MINIMA, 9ù

on aura, en prenant la variation, et considérant que cette fois y est une fonction inconnue de x,

(7) | dr +D'—f(x)ôe 0,

y’ étant la dérivée de y relative à la courbe cherchée. Dans ce cas on pourrait donc éliminer soit 0x, , soit la valeur limite de dy.

De mème, s’il s’agit de déterminer dans l'espace une courbe dont l'extrémité doive se trouver sur une sur-

face donnée, ayant pour équation z = f(x, y), on devra avoir

(8) | Cfa r)=0,

et, par conséquent, puisque y et z sont des fonctions inconnues de #,

RP : Fe É ss (o) | joe or+ fs Thor le 0 dy | ha54 y’ et z' étant les dérivées de y et de z relatives à la courbe cherchée. Dans ce cas on pourrait donc éliminer soit dx, soit la valeur limite de l’une des variations dy, dz. Supposons encore qu'on veuille déterminer une surface courbe avec la condition que Îa partie de son contour correspondante à la limite inférieure de y, ou déterminée par l'équation y =, soit comprise dans une surface donnée, ayant pour équation z — f(x, y), on aura

(10) ere O,

et par suite, puisque z estiune fonction inconnue de x, y,

Vi rdeze lai a (11) | de+ (a T)ar=e,

p, g étant des dérivées partielles de z relatives à la sur- 2 . V2 0 . Fil

face cherchée. Dans ce cas on pourrait éliminer sôit la

variation dY;, soit la valeur limite de la variation 03.

48.. Les conditions de la seconde espèce consistent en ce que certaines expressions définies, le plus souvent certaines intégrales Si, S:,..., doivent conserver des valeurs constantes c,, C:,..., c’est-à-dire que les valeurs ou les formes des fonctions inconnues ne doivent être choisies que parmi celles qui vérifient les équations S, —c;, Ss — c2, etc. Telleest, par exemple, dans le fameux problème des isopérimètres, la condition que l’arcde la courbe dont on cherche l'équation, ait une longueur donnée. Une condition de ce genre ne suflit pas à déterminer ou à éliminer l’une des fonctions inconnues; car il est une infinité de fonctions qui, substituées à celle sur laquelle portent les signes d'intégration et de substitution dans l’expression définie S, , lui feraient prendre la même valeur constante C; c'est ce qu’on peut même affirmer en général de toute fonction renfermant une constante arbitraire à laquelle on donne une valeur convenable. c*

Dans ce cas, qui se présente très-fréquemment et qui cependant a élé traité par les auteurs d’une manière assez peu rigoureuse, on tourne la difficulté par un artifice bien simple. Concevons pour un moment que chacune des fonctions inconnues renferme plusieurs paramètres x, x, #/,..., indépendants les uns des autres, et dont le nombre soit égal à celui des expressions définies S, S;, S»,...3 On pourra considérer ces expressions comme des fonctions de », x, #7,...,