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et la question. se réduira à trouver parmi toutes les valeurs de x, #, x/,.... qui satisfont aux conditions $, = c;, S» = €»,..., celles qui rendent S maximum ou minimum. On la résout, d’après les principes connus du calcul différentiel, en cherchant le maximum ou le minimum absolu de là somme

SH Aa S; + A3So tr .

Lé e V4 e VA As Us5.., étant des constantes indéterminées dont on dispose à la fin du calcul pour satisfaire aux conditions à:

S; — Lis S; LS Co On arriverait encore au même résultat en cherchant le maximum ou le minimum absolu de la somme S +4: (S—c)+a(S: — ce) + ss 9

dans laquelle on fait varier avec le paramètre x non-seulement toutes les inconnues du premier problème, mais aussi les coeflicients a;, &,.... En effet, la variaüon totale de cette somme

JS + a dS, + a09+...+(S— c)da + (S:— c)0 a+

devant être nulle pour toutes les valeurs des variations

"Æ indépendantes qu ‘elle renferme, et parmi lesquelles se

"trouvent Jai, 0a:,..., on aura nécessairement

JS + a4,0S, + 308, +... —0, ea PEU nde Phoemt r0 S a OR

La première de ces Éuaoe donne évidemment le maximum ou le minimum de S+ a, S, + a Ss +.:., dans l'hypothèse précédemment admise, c'est-à-dire pour des valeurs quelconques mais invariables de a;, a,,..., les autres exigent que ces valeurs soient précisément celles qui vérifient les conditions primitives du problème.

Au reste, puisque la somme S + a, (S, —c;) +... ne

peut être un maximum où un minimum absolu sans que l'on n'ait Si = c4, Ses = c,..., c’est-à-dire sans que la somme se réduise à son premier terme 5, il est évident. que les valeurs des inconnues u, , W,..., Xy, Xo, Ya, Mie correspondantes à ce maximum ou minimum absolu, sont parmi toutes les valeurs qui remplissent les conditions S, — ©, S; — c,..., celles qui donnent à l'intégrale $ sa plus grande ou sa plus petite valeur. Aïnsi le dernier problème revient identiquement au premier, sauf qu'il conduit en outre à déterminer certaines quantités &i, dos. , étrangères à la quéstion primitive.

49. IL reste à considérer les conditions de la troisième espèce, Admettons que les fonctions u, #, w,..., et leurs dérivées de divers ordres soient liées entre elles par une équation

Les variations du, dv, d'w,... et leurs dérivées seront de même liées entre elles par l'équation