OU — O

cependant, toutes les fois qu'on ne pourra pas remonter de ces équations différentielles ou aux dérivées partielles aux équations en termes finis dont elles dérivent, elles ne pourront pas servir à l'élimination de l’une des fonctions inconnues ou de l’une des variations. Maïs il est toujours facile de ramener ce cas à celui que nous venons d’examiner. En effet l'équation Ü = 0, qui a lieu dans toute l'étendue de l’intégcale S, entraîne nécessairement la sui-

" ; T, ARE Pa Za L sy J J PMU UCL 0. JA) D RS w sn 2,

à étant une fonction arbitraire de x, y, 3,..., et, réci-

vante

proquement, celle-ci ne peut avoir lieu sans que l’on ait

THÉORIE DES MAXIMA ET DES MINIMA. 99 U= 0. L’équation T = o équivaut donc à la condition donnée U—= o et peut la remplacer identiquement. Cela posé, il suflira, comme dans le cas précédent, de chercher le maximum ou le minimum absolu de la somme S+ a",

ou, ce qui revient au même, de l'intégrale ?

jh he fs .(V+AU)...dzdÿdx,

dans laquelle on représente par À la fonction am U dont la forme peut varier arbitrairement avec 2. Ce problème résolu donnera non-seulement les valeurs de x;, x+, Y1, Vase ees Us Vs W,... Qui conviennent au maximum ou au minimum relatif de Pintégrale S; il déterminera en outre la fonction À, qui n’entrait pas dans la question primitive.

On arrivera au même résultat si l’on cherche le maximum ou le minimum de l'intégrale

JP PEN AU). Mdzdydr,

en regardant À comme une fonction inconnue mais 7variable, pourvu qu'on la détermine à la fin du calcul de manière à remplir la condition U—o. En effet, pour résoudre le problème dans le cas où À change de pe Lil faut égaler à zéro la variation de l'intégrale

JS. (VHOAU).. ddydr,

et l'équation qui en résulte doit être vérifiée pour toutes les valeurs de 01. Or fff.:.Ud2...dzdydx est le seul terme de cette équation qui contienne d1; on devra donc avoir, et cette conclusion sera bientôt ÉTÉ ÜU— 0. Les autres termes de l’équation dont il s’agit sont les mêmes que dans l’hypothèse où À°est invariable de forme; ainsi il sufhra de chercher le maximum ou le mini-

mum de lintégrale fff...(V + AU)...dzdydx dans

cette dernière hypothèse et de déterminer ensuite À par la condition Ü — o, ainsi que nous Pavions avancé.

Si dans la recherche du maximum ou du minimum de l'intégrale S on avait à remplir plusieurs conditions sem-

blables

(es O0 li 0) 072

il sufhirait de chercher le maximum ou le minimum absolu de

Li PTs Pt f x [ (V4 AU + AU, +...)...dzdydx, eu X, DA 2;

À, A1,... étant de nouvelles fonctions à formes variables. On pourrait même regarder À, À,,... comme invariables de forme, et se réserver le droit d’en disposer à la fin du calcul de manière à vérifier les équations

LPS QU 2 0 RUE

Il est facile de voir qu'on pourrait traiter de la même manière les conditions de première espèce (n° 47). Cela est évident pour le cas où l'équation

/ ls Lee À AE AR po AT MENT SOON et

doit avoir lieu dans toute l'étendue de l'intégrale S. Mais si cette équation n'avait lieu qu'à la limite d’une des variables, de sorte qu'on eût, par exemple,

Ti | FO

on la remplacerait par la condition équivalente

fr Z

éd CAT 2 J | | . LE 0 das 0, À [PA Fr"

1 t u étant une fonction arbitraire de x, y. z,..., et le problème, en vertu de ce qui précède, serait ramené à la

) fi

recherche du maximum ou du minimum absolu de Îa somme

Ho (N'a (VZa | X3 [Ii Z; f | 3 Due drop dr + | J XF. /dedæ, “x, Z Z, ë CE En ;

dans laquelle on est libre de regarder la fonction À, représentant le produit de °F par une constante indéterminée, comme variable ou invariable de forme; dans le dernier cas, il resterait à déterminer la valeur de À par la condition F — 0, qui doit avoir lieu à la limite de y.

90. Il reste donc acquis que, dans tous les cas, le problème se ramène à la recherche du maximum ou du minimum absolu d’une expression définie ou d’une somme 2 de plusieurs expressions définies, et que sa solution dépend en définitive dune équation

dans laquelle les variations de toutes les inconnues sont indépendantes les unes des autres. Supposons actuellement que par les procédés indiqués on ait donné à dE une forme telle, que les dérivées des variations ne soient plus prises relativement aux variables d’intégrations ; supposons de plus qu'après avoir décomposé les signes de substitution double en signes de substitution simple, on ait réuni en un seul terme tous ceux qui renferment la même dérivée de la même variation sous les mêmes signes de substitution et d'intégration; le premier membre de l'équation 92 — o sera en général la somme de plusieurs termes ou expressions définies, dont chacun contient une seule variation ou sa dérivée, et se distingue de tous les autres soit par cette dérivée mème, soit par les substitutions et les intégrations qui lui sont propres. Donc si Von égale successivement à zéro toutes les variations à

l'exception d'une seule, on aura une série d'équations dont chacune renferme une seule variation avec ses dérivées, et doit se vérifier quelle que soit la valeur ou la forme de cette variation.

Considérons en particulier une de ces équations

W—o, ne renfermant que la variation du avec ses dérivées.

Le seul terme qui ne soit pas affecté de substitution est nécessairement de la forme

2x, Ya + 33 (A) il | if M0 u...dzdydx; a ri 3;

tous les autres renfermeront un ou plusieurs signes de sub stitution ; et nous rappellerons dès à présent que les substitutions peuvent se faire immédiatement, ou avant les intégrations, à la condition qu'on les fera une seconde fois dans les limites des intégrations (n° 5).

Cela posé, faisons avec M. Sarrus

o=(r—2)(x—2x)(r— 7) (re) (8 — à) (2%),

ei posons pour un instant

du = Mw’?,

= étant un nombre assez grand pour que toutes les dérivées de du renfermées dans W aient encore w en facteur. Puisque w s’annule chaque fois que l’on donne à l’une quelconque des variables x, y, z,... sa valeur limite inférieure ou supérieure, les termes de W affectés de signes de substitution s'évanouiront tous; il ne restera que le seul terme (A), qui devra être nul séparément et

qui donne 7 L; ; PRE ; [ | | ra ( M a" )?, AY AL ER 00

L2 0, Le 6 7;

équation impossible à moins que Mo" ne soit constamment égal à zéro. Or évidemment le facteur w ne peut pas être nul dans les limites de l'intégrale ; il faudra donc que l’on ait dans toute cette étendue

M = oo.

Cette première condition à,laquelle doivent satisfaire les inconnues du problème, fait disparaître le terme (A) quel que soit du; et l'équation W — o est remplacée par une autre

Wii 0) dont tous les termes sont affectés d'un ou de plusieurs signes de substitution, et dans laquelle d'u est encore entièrement arbitraire. |

91. Les termes de cette seconde équation W, — o qui ne renferment qu'un seul et même signe de substitution, relatif, par exemple, à la limite inférieure de y, seront tous de Ja forme

ERTE z. .

2 } 2 là (B) di | jé LENS 4. di da.

| Ë 5 dx

Admettons que celui des termes dans lequel la dérivée de du est de l’ordre le plus élevé m/, soit

ITR Z, 2 L 2 d'à (B') J l 1! NÉ de Fe : dy"

1 fi faisons, pour abréger, | a) D + Ep —(x—x)(x— x) (y—x:)(2— 2)(3 — 2)...

el posons pour un instant ; AEMAAT URE du — N'o Ar ri ,

WE. h ATT, À

n étant un nombre entier assez grand pour que chaque dérivée de d'u qui se trouve dans l'équation W, — o, contienne «, en facteur. Tous les termes de W, non compris dans la forme (B), ou affectés d'un signe de substitution

Æ autre que | , disparaitront avec le facteur w,; de plus

les termes compris sous la forme (B), mais dans lesquels la dérivée de d'u est d’un ordre imférieur à m/, disparaitront avec le facteur y—y;; il ne restera que le seul terme (B’) qui, devant être nul lui-même, pour que l'équation W, — o soit vérifiée, donne

et cette équation évidemment ne peut avair lieu qu'autant que l’on ait #4 JET TS ER | N DU O0

dans toute l'étendue des intégration5, c’est-à-dire entre les

Ja 7 ù limites x, et x, de r| 3; a] z. de z, etc. Or le fac-