J, OU
Ji Y; (æ—x)(x— x) (ri 72) 2 dt = 23 ts
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ne peut pas s'évanouir entre ces limites; il faut done qu'on ait constamment
ÉA RARE | NUS 0
seconde condition à laquelle devront satisfaire les fonctions inconnues, et qui fera disparaître le terme (B’) indépendamment de toute valeur ou forme particulière assignée à du. On a donc le droit de supprimer ce terme dans W,, et comme après cette suppression l'équation W,— o devra encore être vérifiée quel que soit du, on pourra répéter le même raisonnement et prouver : 1° que chaque terme de la forme (B) renfermant un seul signe de substitution relatif à y, fournira séparément une équation de condition qui le fera disparaître; 2° qu’il en sera de même pour tous les termes de W, renfermant un seul signe de substitution relatif à une variable quelconque, et que par conséquent l’équation W, — o se réduit à une nouvelle équation 4
dont chaque terme est affecté de deux signes au moins de
substitution, et dans laquelle du reste encore entièrement arbitraire.
92. Tous les termes de l'équation W; — 6 qui ne renferment que deux signes de substitution déterminés, par
Ta Ji exemple | et | , ont nécessairement la forme
x, JT, £. d'en û Yt\ 5 : FAN P Re nr 13 , (GC) | | | | . NADIA <
Choisissons dans ce groupe les termes pour lesquels / à sa plus grande valeur //, et parmi ces derniers le terme
T 14 Z [ | 4 LE PE d'+m'( x (C') [ .. P’ ND RRET Ne dz 42 dx‘ dy"
dans lequel rm» a sa plus grande valeur #2"; faisons, pour
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abréger,
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et posons pour un instant
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di te ES MANS STE 1.2.3 000
ñ étant un nombre entier assez grand pour que toutes les dérivées de du qui entrent dans W, , contiennent encore , en facteur. Tous les termes de W, qui ne sont pas compris dans le groupe (C) ou qui renferment d’autres signes de substitution que ceux relatifs à x,, 7, disparaitront avec w,3 dans ce groupe, en outre, chaque terme qui contient une dérivée de d'u relative à x d’ordre inférieur à l’ disparaîtra avec x — æ,, et chaque terme renfermant une dérivée de du relative à y d’ordre inférieur à m' disparaîtra avec y
15 il ne restera donc que le seul terme (C’), devenu
La [Ya Z3 a ee
et pour que l'équation W, — o soit vérifiée, il faudra que cette dernière expression soit elle-même nulle, ou que
l’on ait . 2 Yi, | | Po — 0 dans touté l'étendue des intégrations, c’est-à-dire entre
ENT ET, les limites | | LA «| | z, de z, etc.-Mais cette fois
Xe Tu à encore | w, ne devient pas nul entre ces limites ; 1}
faudra donc que l’on ait
nouvelle relation entre les inconnues du problème qui fait disparaître le terme (C') quel que soit du. Ce terme supprimé, l'équation W, = o devra encore être vérifiée pour toutes les valeurs ou formes de du. En appliquant de nou- | veau le même raisonnement, on est successivement conduit à égaler à zéro les coefhicients de d'u et de ses dérivées dans tous les termes renfermant deux signes de substitution seulement, ce qui réduira l'équation W, à une nouvelle équation
Neo
dont chaque terme renferme au moins trois signes de substitution et dans laquelle du reste encore arbitraire. En continuant ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les termes de l'équation W — 0, et étendant les mèmes raisonnements àftoutes les variations indépendantes contenues dans l’équation primitive dE — o, on arrive enfin aux conclusions suivantes :
Pour trouver toutes les relations qui doivent exister entre les inconnues du problème en vertu de l'équation d2—0: 1° on réunira en un seul terme toutes les expressions définies qui dans dE renferment la même dérivée d'une méme variation sous les mémes signes de
substitution ; 2° on égalera à zéro le coefficient de cette
dérivée dans chaque terme : on obtiendra ainsi autant d'équations qu'ily a de termes, chacune de ces équations devant étre vérifiée dans l’étendue entière du terme qui lui a donné naissance, c'est-à-dire pour toutes les valeurs des variables x, y, z,.:., déterminées par les subslitutions ou comprises entre les limites des intégrations dans Le terme dont à s'agit.
Par exemple, le terme
La [Ye 7 Pla (K) [ | ] | RO dt... .dx, VX, t
que nous supposons faire partie de d2Z et dans lequel 0 représente soit la variation d 4 de l’une des inconnues u, soit une dérivée quelconque de du relative aux variables de substitution , fera naître l’équation
