ER ET EN

{ \ 1 T (12) Pn) en Emi +. 0e

dans laquelle, d'après les notations admises, (P,,) représente

DR 5 d"-mp, dx CNT ann ?

P; AW

ne renfermera évidemment que les dérivées de y jusqu’à: y 2" inclusivement; l’ordre de l’équation primitive (1) sera done abaissé de m2 unités.

Il se présente ici une particularité que nous devons faire

connaître. Si les valeurs limites des fonctions y, y’, y”,..., y®*=®, qui ont disparu de V, ne sont assujetties à aucune restriction, le problème reste en partie indéterminé. Substituant, en effet, les valeurs (10) de (P;),(P:),...,(P,),

dans les #7 premières équations (2) pour en déduire les valeurs des constantes arbitraires c;, c,,...,c,, on trouve

CN CIE, +: —= Cm — O;,

valeurs qui rendent en mème temps identiques les m premières équations de la seconde série (2). Il ne restera donc plus que 22— 2 m équations pour déterminer les 2n — 1m constantes nouvelles amenées par l’intégration de l’équation (11) devenue (P,,) = 0 ; et par conséquent "d’entre elles demeureront arbitraires.

C’est du reste ce qu'il était facile de prévoir. En effet, puisque V ne renferme pas les fonctions y, 7',7”,..., y"1, et que ces fonctions n entrent pas non plus dans les conditions relatives aux limites, on aurait pu prendre y!” pour fonction inconnue et chercher la forme à donner à cette fonction pour rendre lintégrale S maximum ou minimum. La valeur en x de y(”) une fois trouvée, pour remonter à la fonction primitive y, il faudrait encore intégrer m2 fois de suite, ce qui introduirait nécessairement dans le résultat définitif m constantes arbitraires.

60. L’équation différentielle (P) — o peut encore être intégrée immédiatement une fois, lorsque la fonction V est linéaire par rapport à y, et que de plus le coeflicient de y ne contenant que x prend la forme g' (x). Dans cette hypothèse, en effet, on a P — (x) et l'équation (P)— o devient

d'Piutdi Pl

AT Gt) 27e dx? AUDE

ou, en intégrant,

(P;) Ces At (x) bite ( (x) + €.

Mais, dans ce cas, si les conditions (2)

existent, c'est-à-dire si l’on n’a apporté aucune restriction aux valeurs limites de la fonction y. le problème sera indéterminé ou impossible; car la valeur o(x) + c de (P,) substituée dans les deux équations dont il s'agit, donnera 4 p(x)+c—0, vof(m)+c—=o,

el ces équations sont incompatibles à moins que ® (x;) ne soit égal à o(x;). Si, accidentellement, cette condition est remplie, il est vrai qu'on pourra satisfaire aux deux dernières équations par une valeur convenable de Îa constante c. Mais elles n’établiront alors qu’une seule condition et l’on n'aura en réalité que 2 2 — 1 équations aux limites pour déterminer les 2 n constantes, dont l’une au moins restera arbitraire,

61. Enfin, l’ordre de l'équation différentielle (1) peut encore s’abaisser d’une unité, lorsque V ne contient pas explicitement la variable x, quelle que soit d’ailleurs sa forme. En effet, la dérivée totale de V étant dans cette hypothèse

dV

pra =Piyr'4e, ya P, y" + LIL AP, mire

si l'on y substitue pour P sa valeur tirée de l’équamon (1)

FE

dB, d? P, ; d® PA ET CRT mn dx la dx" où aura dV ra P 7 J D NI P +1 dE LUS DA SET 2) pr Lx x S

MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES SIMPLES. 123 Or, le second membre de cette nouvelle équation est une dérivée exacte ou la somme de dérivées exactes, comme on le voit en groupant les termes deux à deux,

Ro), d Pr LIEN rate d?P, d A PS L/14 Hs f — // et EE + !

Pr dx dx (2 dx } diP, d / dP, ad Pl, P iv ET PUS NT Lt y ARTE dx? T d, sJ (5 és os dx? ) }»

Substituant et intégrant, on aura donc / V— c++ po dP:., on md RS TE 7 # À d P. d?P.

12 { PPT À y!

( ) A À d dr? 3 - dB, Veau P P, (HE) eva (n—1) Hi . | Et d. dx Let A LP EL ,

équation qui est tout au plus de l’ordre 27 — 1. Par exemple, si V ne renfermait que y, l’équation indéfinie (1) se réduirait à V= c, d’où y — constante. Si X

LR à

était fonction de la seule dérivée y’, on trouverait encore, en prenant y’ pour fonction inconnue, V — c; et, par conséquent, y'=— const., y — ax + b. Si les EE Es y” entraient seules dans V,on aurait, en prenant Ÿ DORE fonc-

dV . à

tion inconnue, Lx ch Brd": ; ct ainsi d s. autres: |

62. Nous avons pre à énarquer qe | Bsotibre des équations est en général ( les valeurs de celles-ci ne dévicnnent mobi bles ou indéterminées que par suile de suppositions parüculières qui

rendent les équations aux limites incompatibles, ou équiva-

lentes en ce sens que quelques-unes d’entre elles puissent se déduire les unes des autres. Il est cependant un cas où lenombre des équations est plus grand que celui des inconnues, et qui forme par là une exception à la théorie générale; c’est lorsque V est linéaire par rapport à la dérivée y” de l’ordre le plus élevé. En effet, cette forme, comme on l’a vu n°35, fait disparaitre de (P) les deux dernières dérivées y(®"-1), y, de sorte que l'équation (1) ne sera plus que de l’ordre 27 — 2, et donnera la valeur de y avec 27 — 2 constantes arbitraires, tandis que les équations aux limites (2), ou les conditions qui pourraient les remplacer, seront toujours en nombre 2 n. Il y a donc plus d’équations que d’inconnues, et le problème est impossible, à moins que des suppositions particulières ne fassent que certaines équations aux limites rentrent dans Îes autres ou se déduisent des autres.

Supposons, par exemple, qu’en outre des limites x, %2, On ait fixé les valeurs extrêmes de y. Les équations (2) en (P,) disparaissent, et les 272 — 2 équations qui restent suffisent à déterminer les 27 — 2 constantes. Dès lors la fonction y est entièrement connue et l’on peut calculer ses valeurs extrèmes que nous appellerons, pour un instant, D,, b2. Il faut donc que les valeurs fixes, qu'on avait assignées d'avance aux valeurs extrêmes de y, soient précisément b;, b;; autrement les conditions aux limites seraient incompatibles et le problème n'aurait pas de solution.

63. Jusqu'ici nous avons supposé que V était fonction des seules quantités x, y, #7”,..., y"). Si V-renfermait en outre les valeurs limites de quelques-unes de ces quantités, l'équation indéfinie (1) aurait encore la même forme, mais les équations aux limites (2) et (3) subiraïent des modifications que nous allons indiquer en peu de

mots. Admettons, pour fixer les idées, que V, avec x, y, y',..., y", contienne les valeurs limites inférieures de z, VV. JT), valeurs que nous désignerons, pour abréger, par £, n, »,,.., n°71), en sorte que

Æ, x, LS AC Frs LT 4 Ge Lt RP nn — TJ x:

Conservant à P, P,, P,,... leurs significations, posons en outre

av dV dV dd ion

ZX; À à La DUT 70; je ae el TE ÉD Eee OR P x, x, x

nous aurons

ddr Are

+ DIE + mi 0n + 5:07 +... + mn),

d3 JDN EP Ch LP dx

Aux termes de la variation de l'intégrale S que nous avons considérés précédemment, il faudra donc ajouter

l'y j (HE + on + Di0n +... + mnt) dx, ou, ce qui revient au même, puisque 0E, dr, dn,..., in dépendants de x, peuvent sortir du signe /f',

COÛË + o10n —- c20n +... .—+ oc, ont).

Or, d’après la définition même des quatités £,n,»,..., on à

l’ensemble des termes qu'on doit ajouter à Ja variation » de l'intégrale peut done s’écrire

| dd d—\d y | (rare D ++ T2)

x, +] (o+ or Ho" +... +oym)d x.

Dès lors, en égalant à zéro la variation complète de l’intégrale S, on obtiendra la même équation indéfinie (1) et les mêmes équations pour la limite supérieure x, qu'auparavant; mais les équations relatives à la limite inférieure À, deviendront

le) mé IRDEE Fe l'œ ee

x, ‘ | [V—o—oy'— 0x" —...— 06, 7]—o.

On aura donc encore le même nombre d'équations qu'auparavant, mais ce nombre deviendra plus grand si V contient les valeurs limites de y!” ou des dérivées d'ordres supérieurs ; le nombre des équations aux limites dépasserait alors le nombre des constantes indéterminées et le problème du maximum ou du minimum serait en général impossible.