IT. On cherche le maximum ou le minimum de

l'intégrale La S SR Vars,

dans laquelle

de À ! F7 ; ET TE nt VS (rs 7, 7,0 ee or ou), 2, 7 5.3 2007,

MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES SIMPLES. 127 y et z étant deux fonctions inconnues de la variable x, FIVE EPA

TV sY 5...

z!,..., leurs dérivées successives. Quand on égale à zéro la variation de l’intégrale S

NT EN s

trouvée n° 36, en admettant que les limites x,, x, ainsi que les valeurs limites de y, z et de leurs dérivées ne soient assujetties à priori à aucune restriction, les termes affectés d'intégration fournissent les deux équations in-

définies (P) — 0; (Q) == O; ou x | dP, d?P, d"P, PR TES — | dx TX; La Fa I { | GE OS ANQRES | dx dx? dx"

les termes affectés de substitution et renfermant dy, 9 z ou leurs dérivées, donnent les 2 (m + n) équations aux

l'a, INOEUEE Po=

auxquelles s'ajoutent les deux nouvelles équations

(3) [v=e, [ve

provenant des termes en dx, et dr.

Les deux équations différentielles simultanées (1), qui doivent avoir lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites de l'intégrale, serviront à déterminer les formes générales des fonctions y et z. Or, puisque V et ses dérivées partielles P,,, Q, contiennent les dérivées de y jusqu'à y(") ei celles de z jusqu’à z(” inclusivement, la première de ces équations sera de l’ordre 2 m par rapport : à y et de l’ordre m + n par rapport à z, tandis que la seconde sera de l’ordre m + n par rapport à y et de l’ordre 27 par rapport à z, c'est-à-dire que les deux équations indéfinies prendront les formes

r rl r (2 À ri

Did Yo poors NS Ts Ses CT El RER ! LÀ ph

dr, y, rie, pt), 3,2/,...,20M = 0.

Différentiant la première 2 n fois et la seconde mn + n fois de suite, on aura m + 3 n + 2 équations renfermant les dérivées de y jusqu’à y(°”+??), et celles de z jusqu’à ("7°") inclusivement, et l’on pourra éliminer les m + 3 n +x inconnues z, z', z”,..., z("#3%), ce qui conduira à une équation différentielle ne contenant plus que y et ses dérivées jusqu’à l'ordre 2m + 2 n,

/ à 2 2 pan ARS TS MAR sue EN 4 PEN

laquelle intégrée donnera la fonction y avec 2(m+n) constantes arbitraires. En remontant aux équations qui. ont servi à l'élimination, on en déduira la seconde foncion inconnue z exprimée au moyen des mêmes constantes.

Il resterait ensuite à déterminer ces constantes arbitraires et les limites x,, x, au moyen des équations aux limites (2) et (3).Mais, bien que le nombre des équations soit égal à celui des inconnues, elles conduiraient, comme dans le cas précédent, à un résultat absurde qui avertirait que le problème, dans les termes où nous l'avons posé,

n'a point de solution. On comprend d° ailleurs à Dion et sans qu il soit besoin d'aucune discussion analytique, qu’en faisant varier arbitrairement avec les fonctions y, z les limites X1,X2, on rendrait chimérique la recherche de maximum ou minimum de l'intégrale S, puisqu'il est évident qu'elle pourrait alors croître ou décroître indéfiniment.

65. L'intégrale S n’est donc susceptible d’un maximum ou d’un minimum qu'autant que les limites x,, x, ou les valeurs limites de y, z et de leurs dérivées sont assujetties à certaines restrictions. Ce qu'il y a de plus simple, est de supposer constantes les limites x,, x,. Leurs variations dx,, d x, étant alors nulles, les deux derniers termes de DS disparaissent d'eux-mêmes et les équations (3) n’ont plus lieu. Les équations (2) serviront alors à déterminer les 2 (m+ n) constantes arbitraires amenées par l’intégration des équations indéfinies (1).

Au lieu de supposer fixes 31, x:, on pourrait faire d’autres hypothèses relatives aux valeurs limites de x, y, Dr or ee z Net on les mettrait.en jeu exactement de la même manière que dans le cas précédent. Ces hypothèses modifieraient de différentes mamères les équations aux limites (2) et (3) sans altérer en rien les équations indéfinies (1); mais lé nombre total des conditions à remplir resterait toujours le même, et sufhrait en général à déterminer les inconnues du problème. Nous disons en général, car il peui arriver pour certaines formes particulières ou certains modes de composition de la fonction V quelle nombre des constantes arbitraires soit inférieur ou supérieur à celui des équations aux limites, et que le problème soit, par conséquent, indéterminé ou impossible. Il suffira d’avoir signalé l'existence de ces anomalies, dont la discussion, d’après ce qui précède, ne souffre plus de difficulté.