SEPTIÈME LECON

Maxima et minima des intégrales multiples. — Cas d’une intégrale double qui renferme une fonction indéterminée z avec ses dérivées partielles du premier ordre. — Cas d’une intégrale double renfermant une fonction z avec ses dérivées partielles du premier et du second ordre.— Cas d’une intégrale triple renfermant une fonction u avec ses dérivées partielles du premier ordre.

66. IL On cherche le maximum ou le minimum de L intégrale double

dans laquelle YSFCET; J's Ps q )

z étant une fonction inconnue des deux variables indépendantes x, y, et p, q ses dérivées partielles du premier ordre.

Désignons, comme auparavant, par N, P, ©, les dérivées partielles de V relatives à z, p, q, la variation de l'intégrale sera (n° 42)

S = (NT D )osrrae

Ro

X, AE ya. dy ” J Vox. dy.

Ji

| 2 Quoiqu'il semble évident que si l’on n'apporte aucune restriction ni à la fonction z ni aux limites de l’intégrale, celle-ci pouvant croître ou décroitre indéfiniment ne sera susceptible ni de maximum nide minimum ; cependant, comme le problème absolu est en quelque sorte le type du problème relatif, nous admettons d’abord que les va-

F4 | Vdy,.dzx

riations 03, dYi1; 0Y23 0%, 0x, sont toutes arbitraires et

indépendantes les unes des autres, en nous réservant de faire subir aux équations de condition obtenues dans cette hypothèse, les modifications qui conviendront aux diverses restrictions. Cherchons donc, en l'absence de toute restriction, les équations dans lesquelles se partage la condition fondamentale 0S — o.

Le premier terme de 9S fournit d’abord l’équation indéfinie