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qui doit subsister pour toutes les valeurs de x,,y, comprises entre les limites de l’intégrale double, ou pour tous les points du plan xy situés dans l’intérieur du quadrilatère ABDC, fig. 1, p. 56.

Les quatre termes suivants, renfermant dz sous un signe de substitution, font naître les quatre équations aux limites

qui doivent subsister pour les points du contour ABDC, la première Île long de la courbe inférieure AC (y = y), la seconde le long de la courbe supérieure BD (y=7;), la troisième le long de la droite AB (x — x;), la quatrième le long de la droite CD (x = x:). On peut, du reste, réunir les deux premières conditions dans cet énoncé unique que Q dx — Pdy doit être nul le long des deux courbes AC, BD, les différentielles dx, dy étant rélatives à ces courbes. On énonce de même les deux dernières conditions à la fois en disant que P doit être nul le long des deux droites AB et CD; or, comme ces droites sonteperpendiculaires à l'axe des x, dx est nul pour chacuned'’elles, et l'équation P — o entraîne celle-ci Qdx — Pdy — 0;

donc, pour que l’ensemble des conditions (2) soit. satis-

fait, il faut et il sufht que l’on ait Q dx FT P dy == 0)

le long du contour entier auquel s'étend le champ de l’intégrale double, les différentielles dx, dy étant relatives à ce contour,

Cet énoncé comprend évidemment autant de conditions distinctes qu’il y a de côtés dans le contour limite. Le plus souvent.il y en quatre; mais rien n’empèche que leur nombre soit plus grand, et que les fonctions y, 7 ou les courbes AC, BD cessent d’être continues ou soient formées de plusieurs parties de nature diflérente. Quelquefois aussi il peut arriver que les côtés rectilignes AB, CD disparaissent et que le contour se réduise à deux courbes ou mème à une seule courbe continue et fermée de toute

part. L’équation Q dx — Pdy = o, ou l’ensemble des

équations (2), représente donc un nombre de conditions plus ou moins grand selon la nature des limites"de l'intégrale.

Enfin les quatre derniers termes de 0S contenant les

variations dx, xs, 01, 0Y2+, dont les deux premières, ou 0x,, dx, sortent du signe intégral parce qu'elles sont indépendantes de y, donnent les quatre nouvelles équations aux-limites

Yi DER | | \'AÉe=t 0 [yes

ar Ya Le Æ | | À Vdy = 0, | [ Mdr 0" À ‘4 LT

dont les deux premières exigent qu’on ait V — 0 pour tous les points des deux courbes AC, BD, et les deux autres que l'intégrale f Vdy, prise le long de la droite AB ou le long de la droite CD, soit nulle.

67. L’équation indéfinie (1) reste toujours la même, quelles que soient les restrictions apportées aux limites de Pintégrale ou aux valeurs limites de z, p, g; c’est une équation aux différences partielles du second ordre. Supposons qu’on sache l'intégrer et qu’elle conduise à une équation primitive entre x, y, z et deux fonctions arbiiraires. On disposera de ces fonctions pour satisfaire à deux équations aux limites, lesquelles seront différentes selon les restrictions admises, que nous allons discuter.

1° Les limites de l'intégrale sont données. — Les quatre derniers termes de OS disparaïssent avec les variations 0X,, OX, 0Y1, 0Y2, qui sont nulles, et les équations (3) cessent d’avoir lieu. Les équations aux limites se réduisent alors au système (2) ou à la condition

(4) » Qdx — Pdy = 0,

qui doit subsister pour tous les points du contour limite et à laquelle les deux fonctions arbitraires doivent satisfaire. Or, pour déterminer complétement ces fonctions, il

134 CALCUL DES VAKIATIONS.

suffit de deux équations, tandis que la condition (4) représente, comme on l’a vu, autant d'équations distinctes qu’il y a de côtés ou de courbes différentes dans le contour limite. Il en résulte que si les côtés rectilignes AB, CD ne sont pas nuls, ou mieux, que si dans la composition du contour limite il entre plus de deux courbes distinctes, le problème n'aura pas de solution, à moins toutefois qu’il n'arrive accidentellement que les formes des fonctions arbitraires qui conviennent à deux de ces courbes, conviennent en même temps à toutes les autres.

Lorsque z représente l’ordonnée d’une surface qu’il s’agit de déterminer de manière à rendre l'intégrale S maximum ou minimum, l'hypothèse ou la restriction que nous venons de considérer, signifie que la surface cherchée doit être comprise entre certaines paroïs cylindriques normales au plan xy et données par les équations

Ets Et EN NE Vie

2° Les limites de l'intégrale sont données, ainsi que les valeurs limites de la fonction z.— Tous les iermes de 08 affectés de substitution sont identiquement nuls et les équations aux limites (2) et (3) disparaïssent par conséquent. Maïs la surface cherchée est alors assu- Jettie à passer par certaines courbes dans l’espace, courbes qui sont connues, puisqu'on a donné non-seulement leurs projections sur le plan xy, ou le contour limite, mais aussi les valeurs correspondantes de l’ordonnée z. Or, quand on aura fait passer la surface par deux courbes données, les deux fonctions arbitraires seront déterminées ; si le nombre des courbes ou des côtés du contour limite était plus grand, on aurait donc plus de conditions que ne peuvent en vérifier, généralement, les fonctions arbitraires, et le problème serait impossible.

3° La valeur de z aux limites de L intégrale est

constante et donnée, ces limites étant elles-mêmes variables. — Cela veut dire que la surface cherchée est seulement assujettie à se terminer dans un plan donné parallèle au plan xy. Puisque nous supposons

x, Le 1 Ya DM I ne DL A

k étant une quantité constante et donnée, nous aurons, en prenant {n° 30) la variation des deux membres de ces équations

['te+ 880, «) (d3+ pda) — 0,

] (9z+gdy) —0, l'ts+aër—e.

Si, dans la variation de l'intégrale, on réunit deux à deux les termes affectés de la même substitution, on obtiendra: quatre expressions définies renfermant chacune deux variations devenues fonctions l’une de l’autre en vertu des relations qui précèdent. Donc, en éliminant une de ces variations et égalant à zéro le coefficient de l’autre, on en déduira quatre équations aux limites, qui devront remplacer les systèmes (2) et (3). Considérons, par exemple, les deux termes affectés de la substitution y = 7:, qui, réunis en un seul, deviennent

2 1 dy — Vdr: + (e- D) os de JF | dx

après avoir éliminé 0 z à l’aide de la relation dz+4907,=—o, quidoit avoir lieu, comme on l’a vu tout à l'heure, pour “la limite inférieure de y, égalons à zéro le coeflicient de dy: 1l viendra

On aura également pour la limite supérieure de y

Fe | dy: