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Les deux termes de 9S, affectés de la substitution x = X,, donnent de même [a somme
x, PT < J (V9 x, + P0z) dy;
éliminant d z, en se servant de la relation dz + pdx;=0o, qui doit être vérifiée pour la limite inférieure de x, et égalant à zéro le coefficient de la variation 0 x,, qu'on aura fait sortir du signe intégral, puisqu'elle n’est au fond qu’une constante arbitraire, on trouvera
LA Æ | $ (V—Pp)dy =, É
et, de même, pour la limite supérieure de x,
aa LR TS | . (V—Pp)dy — 0.
és
En résumé, il résulte de cette discussion qu’on doit avoir [(V — Pp) dy = 0, l'intégrale étant prise le long de l’une ou de l’autre des droites AB, CD (fig. x), et
vi (Q MD 7) q = 0 pour chacune des deux courbes
LA e # d # e “ e AC, BD, la dérivée étant relative à ces courbes. Mais, T
puisque z est supposée constante le long des courbes dont
dé SEA il s’agit, sa différentielle totale dz = pdx + qdy sérar nulle pour chacune d'elles, et l’on aura, par const{ieun
€ pir + qgdy=0, =—=——;
TRS
donc, en définitive, les nouvelles conditions aux limites exigent qu on ait
(5) | V—Pp—Qg=o
. pour chacune des courbes y = 1, Y —=73; et
(6) SVN—Pp)d; = 0
pour chacune des droites x=%,, x = x, l'intégrale étant prise le long de ces droites entre les limites y et y:
de la variable y.
4° Les valeurs limites de x, y, z sont liées entre.elles par des relations données quelconques. — C’est.le cas où la surface cherchée est seulement assujettie à avoir son contour limite sur une ou plusieurs surfaces données que nous appellerons surfaces terminales. Soit z—f(x,y) l'équation de l’une de ces surfaces, par exemple, de celle qui correspond à la limite inférieure # LP hnat pie0n : Ne id PTE
de y, et désignons par p’, g'les dérivées partielles me de z relatives à cette surface; la restriction ainsi établie
Yi | {z— f(x, y)}—0 entrainera J'; l Ldz+(q —g)dril=0,
et permettra d'éliminer d z de la somme
+ ” F y 2 ‘| dy. ) 4 =. | Var + (Q— PÊt) 32 lun
des deux termes qui, dans la variation de l'intégrale, soni affectés de la subsutution y = y;. Ces termes alors ne
fourniront plus qu’une seule équation,
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qu’on pourra écrire simplement
dy
V—(Q—P— 4 Le 0 (7) (e %) (a g'}=0; en ajoutant qu'elle doit subsister pour l'intersection de la surface cherchée et de la surface terminale, ou plutôt pour tous les points de sa projection sur le plan xy, la dérivée dy # 0 A Q . e r 7 p étant relative à cette même projection. Cette dérivée estid’ailleurs facile à déterminer. En effet, puisque les équations différentielles des deux surfaces dont il s’agit,
dz = pdx + qdy, dz = p'dx + q'dy, subsistent simultanément pour leur intersection commune, on aura pour cette même intersection
d AUS pdx + qdy = p'dx —— q'dy, ou EL = — Ê Tate ,
dx q —q valeur qui, substituée dans l'équation (3), lui fait prendre la forme plus symétrique
