V— PP PE

Nous n'avons pas besoin d'ajouter qu'une équation toute semblable doit avoir lieu pour la surface terminale correspondante à la limite supérieure de y, avec la seule modification, bien entendu, que p’, g signifieront alors les dérivées partielles de l’ordonnée z de cette dernière surface. En général, quel que soit le nombre des surfaces données qui doivent limiter la surface cherchée dans le sens des y, la condition (8) aura lieu pour l'intersection de chacune d’elles avec cette dernière surface:

MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES DOUBLES. 139 Considérons à présent le cas plus particulier où la surface donnée z = f(x, y), dz = p'dx + q'dy, doit servir de limite inférieure dans le sens des x,où, par conséquent, son intersection avec la surface cherchée est assujettie à se projeter sur le plan xy suivant une droite perpendiculaire à l’axe des x.

La condition ainsi établie

Pete =

entraînera [ [04 (p —p'}dal = 0,

et permettra d'éliminer d z de la somme

XL, Ya “2 de (VO x + Pdz)dy J1

des deux termes qui dans la variation de l'intégrale sont affectés de la substitution x = x,. Ces termes alors ne fourniront plus qu'une seule équation

x, x, (9) Puf (V—P(p—p')| dy = 0,

qu'on pourra écrire simplement F PRECTENIT EN

en ajoutant que l'intégrale doit être prise le long de la PEUTECUeE sur le plan xy de l’intersectionsdo: PL "agit, c'est-à-dire le long de la droite AB (fig. 1) + Uné équation semblable aurait lieu pour la limite L2, Ou pour la droite CD, s'ilexistait de ce côté une seconde surface terminale.